Matematyka.pl

Wyznacz najmniejszą wartość sumy czwartych potęg pierwiastków równania kwadratowego

\(\displaystyle{ x^{2} -x+m-2=0}\) z parametrem \(\displaystyle{ m R}\)

a wiec najpierw suma czwartych poteg pierwiastow:
\(\displaystyle{ x_{1}^{4} + x_{2}^{4}=x_{1}^{4} + 2x_{1}^{2}x_{1}^{2} +x_{2}^{4} -2x_{1}^{2}x_{1}^{2} = (x_{1}^{2} + x_{1}^{2})^{2} -2x_{1}^{2}x_{1}^{2} = \left[ (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} \right]^{2}-2(x_{1}x_{2})^{2}}\)

teraz ze wzorow vieta:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=1}\)
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}=m-2}\)

podstawiamy otrzymane wartosci i otrzymujemy rownanie kwadratowe ze zmienna m:
\(\displaystyle{ 2m^{2}-12m+17}\)
jest to parabola z ramionami skierowanymi do gory (bo a>0) wiec wartosc najmniejsza przyjmuje w wierzcholku, obliczamy ze wzoru na pierwsza wspolrzedna wierzcholka:
\(\displaystyle{ p= \frac{-b}{2a}}\)
i mamy rozwiazanie
\(\displaystyle{ m=3}\)

mam nadzieje ze w obliczeniach gdzies sie nie przejechalem, jakby co to idee rozwiazania mozna zauwazyc i ewentualnie poprawic

Dzięki,tylko zamiast "m" nie powinno być "p"?

p to jest pierwsza wspolrzedna wierzcholka, funkcja jest f(m), wiec p to jest m wierzchlka