Wyznacz najmniejszą wartość sumy czwartych potęg pierwiastków równania kwadratowego
\(\displaystyle{ x^{2} -x+m-2=0}\) z parametrem \(\displaystyle{ m R}\)
Zadanie z parametrem
-
soundluk
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 11 gru 2007, o 18:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BP
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 3 razy
Zadanie z parametrem
a wiec najpierw suma czwartych poteg pierwiastow:
\(\displaystyle{ x_{1}^{4} + x_{2}^{4}=x_{1}^{4} + 2x_{1}^{2}x_{1}^{2} +x_{2}^{4} -2x_{1}^{2}x_{1}^{2} = (x_{1}^{2} + x_{1}^{2})^{2} -2x_{1}^{2}x_{1}^{2} = \left[ (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} \right]^{2}-2(x_{1}x_{2})^{2}}\)
teraz ze wzorow vieta:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=1}\)
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}=m-2}\)
podstawiamy otrzymane wartosci i otrzymujemy rownanie kwadratowe ze zmienna m:
\(\displaystyle{ 2m^{2}-12m+17}\)
jest to parabola z ramionami skierowanymi do gory (bo a>0) wiec wartosc najmniejsza przyjmuje w wierzcholku, obliczamy ze wzoru na pierwsza wspolrzedna wierzcholka:
\(\displaystyle{ p= \frac{-b}{2a}}\)
i mamy rozwiazanie
\(\displaystyle{ m=3}\)
mam nadzieje ze w obliczeniach gdzies sie nie przejechalem, jakby co to idee rozwiazania mozna zauwazyc i ewentualnie poprawic
\(\displaystyle{ x_{1}^{4} + x_{2}^{4}=x_{1}^{4} + 2x_{1}^{2}x_{1}^{2} +x_{2}^{4} -2x_{1}^{2}x_{1}^{2} = (x_{1}^{2} + x_{1}^{2})^{2} -2x_{1}^{2}x_{1}^{2} = \left[ (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} \right]^{2}-2(x_{1}x_{2})^{2}}\)
teraz ze wzorow vieta:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=1}\)
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}=m-2}\)
podstawiamy otrzymane wartosci i otrzymujemy rownanie kwadratowe ze zmienna m:
\(\displaystyle{ 2m^{2}-12m+17}\)
jest to parabola z ramionami skierowanymi do gory (bo a>0) wiec wartosc najmniejsza przyjmuje w wierzcholku, obliczamy ze wzoru na pierwsza wspolrzedna wierzcholka:
\(\displaystyle{ p= \frac{-b}{2a}}\)
i mamy rozwiazanie
\(\displaystyle{ m=3}\)
mam nadzieje ze w obliczeniach gdzies sie nie przejechalem, jakby co to idee rozwiazania mozna zauwazyc i ewentualnie poprawic