Szereg z różnicami

[mol_ksiazkowy]

Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{p_{n+2} - p_n} }\) jest zbieżny ? (\(\displaystyle{ p_n}\) to \(\displaystyle{ n}\) ta liczba pierwsza)

Ukryta treść:    

ChatGpt uważa, że raczej rozbieżny....

[a4karo]

Między `n` i `2n` leży liczba pierwsza. Stąd mamy `p_n<p_{n+2}<4p_n`. Zatem `p_{n+2}-p_n<3p_n` i w konsekwencji
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_{n+2}-p_n}>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3p_n}=\infty}\)