Ukryta treść:
Szereg z różnicami
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13371
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Szereg z różnicami
Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{p_{n+2} - p_n} }\) jest zbieżny ? (\(\displaystyle{ p_n}\) to \(\displaystyle{ n}\) ta liczba pierwsza)
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22458
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 3852 razy
Re: Szereg z różnicami
Między `n` i `2n` leży liczba pierwsza. Stąd mamy `p_n<p_{n+2}<4p_n`. Zatem `p_{n+2}-p_n<3p_n` i w konsekwencji
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_{n+2}-p_n}>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3p_n}=\infty}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_{n+2}-p_n}>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3p_n}=\infty}\)