Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}+ \frac{1}{x+3} <3 }\)
Czy jest jakiś sposób na rozwiązanie?

Dana nierówność jest równoważna, w swojej dziedzinie, nierówności:
\[-(x+1)(x+2)(x+3)\left[3(x+2)^3-3(x+2)^2-3(x+2)+1\right]<0.\]
Pozostaje wskazać, np. z wzorów Cardano, pierwiastki (wszystkie trzy niewymierne) wielomianu
\[w(t)=3t^3-3t^2-3t+1,\ \text{gdzie }t=x+2,\]
naszkicować wykres wielomianu lewej strony nierówności i przeczytać przedziały rozwiązań...

Pozdrawiam

W zadaniu nie ma żadnych założeń. A gdyby było \(\displaystyle{ x>-1}\), czy wtedy mogę skorzystać z zależności między średnimi?

JHN pisze: 16 paź 2025, o 22:30 Dana nierówność jest równoważna, w swojej dziedzinie, nierówności:
\[-(x+1)(x+2)(x+3)\left[3(x+2)^3-3(x+2)^2-3(x+2)+1\right]<0.\]
Pozostaje wskazać, np. z wzorów Cardano, pierwiastki (wszystkie trzy niewymierne) wielomianu
\[w(t)=3t^3-3t^2-3t+1,\ \text{gdzie }t=x+2,\]
naszkicować wykres wielomianu lewej strony nierówności i przeczytać przedziały rozwiązań...

Pozdrawiam

Doszłam do podstawienia \(\displaystyle{ t=x+2}\) i do wielomianu postaci powyżej. Tylko to na poziom licealny to za dużo.

Rozwiązaniem danej nierówności (za Desmosem) jest
\[(-\infty;-3)\cup(x_1;-2)\cup(x_2;-1)\cup(x_3;+\infty),\]
gdzie \(x_1\approx -2,8,\ x_2\approx-1,7,\ x_3\approx-0,5\), zatem

• średnia harmoniczna nie zadziała,
• problem wykracza ponad poziom zdeformowanej szkoły ponadpodstawowej.

Pozdrawiam

[literówka - nieprzypadkowa]

Każdy ze składników lewej strony jest funkcją ściśle malejącą w swojej dziedzinie. Lewa strona maleje zatem w każdym z przedziałów \(\displaystyle{ (-\infty,-3), (-3,-2), (-2,,-1), (-1,\infty)}\) przy czym wartości przybierane przez nią w każdym z przedziałów to odpowiednio \(\displaystyle{ (-\infty,0), (-\infty,\infty), (-\infty,\infty), (\infty,0)}\).
Z własności Darboux wynika zatem istnienie \(\displaystyle{ x_1\in(-3,-2), x_2\in (-2,-1), x_3\in(-1,0)}\), takich, że nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ x\in(-\infty,-3)\cup(x_1,2)\cup(x_2,-1)\cup(x_3,\infty)}\).

Te liczby to rozwiązania równania \(\displaystyle{ \frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}=3}\), co sprowadza się do wielomianu trzeciego stopnia, który się pojawił wyżej - nierozwiązywalne na poziomie licealnym

Warto zauważyć, że to rozwiązanie stosuje się w każdym przypadku gdy po prawej stronie zamiast `3` stoi dowolna liczba dodatnia (wielomian będzie inny)

Zastanów się jak będzie wyglądało rozwiązanie nierówności, gdy prawa strona będzie ujemna

\(\displaystyle{ \frac{3x^3+15x^2+21x+7}{(x+1)(x+2)(x+3)} >0}\)

Tylko i najlepsza uniwersalna metoda to siatka znaków...i nie ma wątpliwości.