Matematyka.pl

Rozwiązać kongruencję \(\displaystyle{ x^2 \equiv 2\, (\bmod{257})}\).

\(\displaystyle{ \pm 60+257k}\) lub \(\displaystyle{ \pm 197+257k}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą

Ale

chodzi o to aby to wyliczyć elementarnie

1. Problem w tym, że nie zaglądałem do '' ukrytej treści'', gdyż tam zwykle było źródło pochodzenia zadania.

2. Mimo to, nie użyłem komputera, lecz jedynie prostego kalkulatora.
Ponieważ rozwiązanie ''bazowe'' uzyska się dla naturalnego \(\displaystyle{ \sqrt{2+n \cdot 257} }\) dla \(\displaystyle{ n \in \left\{ 0,1,2,...,256\right\} }\) , to ostatnia cyfra wyrażenia pod pierwiastkiem odrzuca z 40% możliwych liczb, a dwie ostatnie ponad połowę z pozostałych. Pomimo tych ograniczeń i tak pozostało mi około 50 liczb do sprawdzenia na kalkulatorze.

3. Ponieważ powyższe wymaga trochę pracy, to zadanie czeka na elementarne rozwiązanie.



PS
Przy okazji, moje rozwiązania się dublują. Powinno być:
\(\displaystyle{ \pm 60+257k}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą
albo:
\(\displaystyle{ 60+257k}\) lub \(\displaystyle{ 197+257k}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą

zadanie czeka na elementarne rozwiązanie.

Chat GPT zaleca algorytm Tonellego-Shanksa....