Nieistniejąca f
: 19 sie 2025, o 18:41
Udowodnić, że nie istnieje surjekcja \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) taka, że \(\displaystyle{ f(f(x)) = (x-1) f(x)+ 2 }\) dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\).
Ukryta treść:
Załóżmy nie wprost, że taka funkcja \(\displaystyle{ f}\) istnieje. Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ f(x) = f(y) \neq 0}\), to \(\displaystyle{ x = y}\) - co wynika wprost z podstawienia najpierw \(\displaystyle{ x}\) a potem \(\displaystyle{ y}\) do początkowego równania.
Wstawiając do równania taki \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\), dla którego \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) - a taki istnieje z uwagi na surjektyność \(\displaystyle{ f}\) - dostajemy \(\displaystyle{ f(0) = 2}\). Podstawiając \(\displaystyle{ x = 0}\) mamy z kolei \(\displaystyle{ f(2) = 0}\), a podstawiając \(\displaystyle{ x = 2}\) mamy \(\displaystyle{ f(0) = 2}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ f(f(1)) = 2}\), stąd na mocy początkowej uwagi \(\displaystyle{ f(1) = 0}\).
Następne dwa kroki wykonujemy według schematu: mając \(\displaystyle{ y \neq 0}\), znajdujemy \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) spełniające \(\displaystyle{ f(x) = y}\) i wstawiamy do równania, dostając po przekształceniach \(\displaystyle{ x = \frac{f(y)-2}{y}+1}\). W ten sposób dostajemy kolejno:
Wstawiając do równania taki \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\), dla którego \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) - a taki istnieje z uwagi na surjektyność \(\displaystyle{ f}\) - dostajemy \(\displaystyle{ f(0) = 2}\). Podstawiając \(\displaystyle{ x = 0}\) mamy z kolei \(\displaystyle{ f(2) = 0}\), a podstawiając \(\displaystyle{ x = 2}\) mamy \(\displaystyle{ f(0) = 2}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ f(f(1)) = 2}\), stąd na mocy początkowej uwagi \(\displaystyle{ f(1) = 0}\).
Następne dwa kroki wykonujemy według schematu: mając \(\displaystyle{ y \neq 0}\), znajdujemy \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) spełniające \(\displaystyle{ f(x) = y}\) i wstawiamy do równania, dostając po przekształceniach \(\displaystyle{ x = \frac{f(y)-2}{y}+1}\). W ten sposób dostajemy kolejno:
- \(\displaystyle{ 1 = f(-1)}\)
- \(\displaystyle{ -1 = f(2)}\)