Załóżmy nie wprost, że taka funkcja
\(\displaystyle{ f}\) istnieje. Zauważmy, że jeśli
\(\displaystyle{ f(x) = f(y) \neq 0}\), to
\(\displaystyle{ x = y}\) - co wynika wprost z podstawienia najpierw
\(\displaystyle{ x}\) a potem
\(\displaystyle{ y}\) do początkowego równania.
Wstawiając do równania taki
\(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\), dla którego
\(\displaystyle{ f(x) = 0}\) - a taki istnieje z uwagi na surjektyność
\(\displaystyle{ f}\) - dostajemy
\(\displaystyle{ f(0) = 2}\). Podstawiając
\(\displaystyle{ x = 0}\) mamy z kolei
\(\displaystyle{ f(2) = 0}\), a podstawiając
\(\displaystyle{ x = 2}\) mamy
\(\displaystyle{ f(0) = 2}\). Jednocześnie
\(\displaystyle{ f(f(1)) = 2}\), stąd na mocy początkowej uwagi
\(\displaystyle{ f(1) = 0}\).
Następne dwa kroki wykonujemy według schematu: mając
\(\displaystyle{ y \neq 0}\), znajdujemy
\(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) spełniające
\(\displaystyle{ f(x) = y}\) i wstawiamy do równania, dostając po przekształceniach
\(\displaystyle{ x = \frac{f(y)-2}{y}+1}\). W ten sposób dostajemy kolejno:
- \(\displaystyle{ 1 = f(-1)}\)
- \(\displaystyle{ -1 = f(2)}\)
co jest sprzeczne z otrzymaną wcześniej równością
\(\displaystyle{ f(2) = 0}\).
