Matematyka.pl

Głupie pytanie, ale mnie ciekawi.
Czy istnieje funkcja ciągła (albo chociaż całkowalna) taka, że jej wartość wynosi \(\displaystyle{ 0}\) tylko w przeliczalnie wielu punktach, ale zmienia znak tak często, że na dowolnym przedziale o długości \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) całka z tejże funkcji wynosi \(\displaystyle{ 0}\)?

Co wynika z faktu, że funkcja jest ciągła i dodatnia w pewnym punkcie?

Pewnie, że w otoczeniu tego punktu ciągłości jest dodatnia. Czyli szukana funkcja nie jest ciągła. A co z funkcjami nieciągłymi?

Nie istnieją takie.

Niech \(\displaystyle{ f\colon \RR \rightarrow \RR}\) będzie funkcją całkowalną taką, że w każdym przedziale całka z \(\displaystyle{ f}\) wynosi zero. Trzeba pokazać najpierw, że całka z \(\displaystyle{ f}\) wynosi zero w każdym zbiorze mierzalnym w sensie Lebesgue'a. Ten warunek jest z kolei wystarczający, żeby funkcja była prawie wszędzie równa zero.

Wsk, Niech \(\displaystyle{ A_n=\{x: f(x)>1/n\}, B_n=\{x: f(x)<-1/n\}, C=\{x:f(x)=0\}}\).
co wynika z faktu, że \(\displaystyle{ \mathbb{R}= \bigcup_{n}^{} A_n \cup\bigcup_{n}^{} B_n \cup C}\)?