Matematyka.pl

Czy dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), że liczba \(\displaystyle{ 2^n}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ k}\) cyfr nieparzystych ?

Prawdziwe jest silniejsze twierdzenie:
Dla dowolnego ciągu cyfr istnieje potęga dwójki zaczynająca się od tego ciągu.

Wskazówka do dowodu: logarytm dziesiętny z dwójki jest niewymierny

Przyjmijmy ciąg cyfr \(\displaystyle{ 0,0,0,0,0,0}\)

`0000002=2`

Tylko tam było założenie o nieparzystości

Czy nie sądzisz że że dowolny ciąg może oznaczać również dowolny ciąg cyfr nieparzystych?

Racja, choć nie do końca rozumiem dlaczego niewymierność tego logarytmu wystarczy za dowód. Ciąg \(\displaystyle{ 0,6,0,0,6,6,0,0,0,6,6,6,\ldots}\) składa się z cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby niewymiernej. Rozumiem, że możemy do niego coś dołożyć, żeby pasowało, ale Twoja podpowiedź mi nie pomaga. Rozumiem, że chcemy logarytmować szukając potęgi, rozumiem, że wybrałeś logarytm dziesiętny ze względu na (swoje) sformułowanie ciągowe zadania, ale nie wiem jak to pomaga.

Być może "od którego się zaczyna" powinno mi wystarczyć, ale co z nieskończonymi ciągami (jak mój podany wyżej)?

Ok, poprawiam się:

Prawdziwe jest silniejsze twierdzenie:
Dla dowolnego SKOŃCZONEGO ciągu cyfr istnieje potęga dwójki zaczynająca się od tego ciągu.

Swoją drogą, czy może istnieć potęga dwójki zaczynająca się od nieskończonego ciągu cyfr?

Jeżeli ktoś ma chęć to proponuje sprawdzić ciąg cyfr dla \(\displaystyle{ 2^{789}}\)

Tylko po co i jaki to ma związek z zadaniem?

Po prostu szukałem ciągu cyfr odpowiadających pierwszym cyfrom liczby \(\displaystyle{ \pi }\). Ale nie jest to łatwe.

@samouk
Jeżeli `\log_{10}2` jest liczbą niewymierną, więc zbiór \(\displaystyle{ A=\{n\log_{10}2-[n\log_{10}2]: n\in\NN\}}\) jest gęsty w odcinku \(\displaystyle{ (0,1)}\)

Zamiast pisać teorię, łatwiej pokazać przykład.
Szukamy potęgi dwójki, która zaczyna się od \(\displaystyle{ 31415926}\).
Na mocy gęstości \(\displaystyle{ A}\) znajdziemy takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ \log_{10}31415926-[\log_{10}31415926]<n\log_{10}2-[n\log_{10}2]<\log_{10}31415927-[\log_{10}31415926]}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \log_{10}31415926-[\log_{10}31415926]+[n\log_{10}2]<n\log_{10}2<\log_{10}31415927-[\log_{10}31415926]+[n\log_{10}2]}\)
czyli
\(\displaystyle{ 31415926\cdot 10^{-[\log_{10}31415926]+[n\log_{10}2]}<2^n<31415927\cdot 10^{-[\log_{10}31415926][n\log_{10}2]}}\),
czyli `2^n` zaczyna się od `31415926`..

Zadanie dla Ciebie: ten dowód zawiera niewielką wadę. Czy potrafisz ją znaleźć?

Jeżeli zależy Ci na gęstości, to po co Ci niewymierność? Zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) też jest gęsty. Jeżeli chodzi o tę wadę, to czy chodzi o operowanie na ostrych nierównościach?
Szczerze to nadal nie widzę do końca wynikania (chodzi o ostatnią implikację).

Tyle że nie każda liczba wymierna ma te ładna własność, że odlogarytmowana będzie potęgą dwójki. Widzę że skoncentrowałeś się na gęstości, a nie na tym, co jest istotne w dowodzie.