Matematyka.pl

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) jest prosty. Na dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ ACB}\) zaznaczono punkt \(\displaystyle{ D}\), poza trójkątem \(\displaystyle{ ABC}\), w taki sposób, że \(\displaystyle{ \angle DAB=45^\circ}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ AD=DB}\).

Po kilku nieudanych próbach udowodnienia tego twierdzenia, zacząłem przypuszczać, że jest ono fałszywe. Proszę o sprawdzenie czy to jest dobry kontrprzykład:
Niech \(\displaystyle{ \angle BAC =30^\circ}\) i \(\displaystyle{ \angle ABD=30^\circ}\). W tym trójkącie spełnione są warunki zadania, ale \(\displaystyle{ AD \neq DB}\).

Dobrze?

Nie masz racji.

A skąd to wiemy?

\(\displaystyle{ \angle ABC=\angle ADC}\).

No faktycznie, nie zauważyłem tego. No ok, ale co dalej? Jak wykazać, że na tym czworokącie można opisać okrąg?

Kąty \(\displaystyle{ DBA }\) i \(\displaystyle{ DCA}\) są równe (\(\displaystyle{ 45^{o}}\))....

No kąt \(\displaystyle{ DCA}\) to się zgadzam, że ma \(\displaystyle{ 45}\) stopni, ale dlaczego kąt \(\displaystyle{ DBA}\) ma \(\displaystyle{ 45}\) stopni?

A chyba widzę. Jeśli \(\displaystyle{ O}\) będzie punktem przecięcia przekątnych tego czworokąta to trójkąty \(\displaystyle{ ADO}\) i \(\displaystyle{ BOC}\) są podobne z cechy \(\displaystyle{ kkk}\). To znaczy, że \(\displaystyle{ \frac{AO}{CO}= \frac{DO}{BO} }\), z czego wynika, że również trójkąty \(\displaystyle{ AOC}\) i \(\displaystyle{ BOD}\) są podobne z cechy bkb, no, a z tego już wynika, że \(\displaystyle{ DBA}\) ma \(\displaystyle{ 45}\) stopni, więc faktycznie suma odpowiednich kątów jest \(\displaystyle{ 180}\), więc jednak można na tym czworokącie opisać okrąg.

O to chodzi?

a gdzie rysunek ?