Matematyka.pl

1. Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} }\) będzie taka, że:
\(\displaystyle{ f(0)=0 \\ f(1)=1 \\ f(x^2+ \frac{1}{x}) = f(x)^2 + f(\frac{1}{x})}\)
gdy \(\displaystyle{ x \neq 0}\) .
Udowodnić, że \(\displaystyle{ f}\) nie jest ograniczona z góry.
Korea
2. Wyznaczyć te liczby naturalne, o ile istnieją, których nie można przedstawić w formie \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+c}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami naturalnymi.
powtórzone
3. Wyznaczyć ułamek w przedziale \(\displaystyle{ (\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n})}\) o najmniejszym możliwie mianowniku.
4. Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie czworokątem, a punkty \(\displaystyle{ L, N}\) to środki przekątnych \(\displaystyle{ AC, BD}\) odpowiednio. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ BD}\) jest dwusieczną kata \(\displaystyle{ ANC}\), to \(\displaystyle{ AC}\) jest dwusieczną kata \(\displaystyle{ BLD.}\)
Turcja
5. Liczbę wymierną \(\displaystyle{ r \in \QQ}\) nazywa sie rozdzielającą, jeśli istnieje rozkład \(\displaystyle{ x^3 - 3x - r =(x-q_1)(x - q_2)(x - q_3)}\) gdzie \(\displaystyle{ q_1, q_2, q_3 \in \QQ}\). Wyznaczyć wielomiany \(\displaystyle{ f, g}\) o współczynnikach całkowitych, takie że \(\displaystyle{ r \in \QQ}\) jest rozdzielająca wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ r = \frac{f(t)}{g(t)}}\) dla jakiegoś \(\displaystyle{ t \in \QQ.}\)
Australia

6. Czy każde dwie rozłączne parabole można rozdzielić prostą ?
7. Ciekawy stożek
Okręgiem o środku \(\displaystyle{ O}\) (punkt na powierzchni bocznej stożka) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) jest zbiór tych punktów na powierzchni bocznej stożka odległych o \(\displaystyle{ r}\) od punktu \(\displaystyle{ O}\). Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele takich okręgówo tym samym promieniu, ale o różnym obwodzie.
8. Czy do każdego odcinka o maksymalnej długości zawartego we wnętrzu figury ograniczonej, wypukłej i środkowosymetrycznej musi należeć środek symetrii tej figury ?
Uzasadnić
9. Wykazać, że wszystkie romby wpisane w elipsę są opisane na jednym i tym samym okręgu.
10. Prawdopodobieństwo dla \(\displaystyle{ f}\)
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem bijekcji \(\displaystyle{ f: \{ 1,…, n \} \to \{ 1,…, n \} }\) takich, że
\(\displaystyle{ f(k) \le k+ 1}\) (\(\displaystyle{ k}\) dowolne)
\(\displaystyle{ f(k) \neq k}\) dla \(\displaystyle{ k>1.}\)
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, iż \(\displaystyle{ f(1) \neq 1}\) dla losowo wziętej \(\displaystyle{ f}\) z \(\displaystyle{ X.}\)
Tajwan
powtórzone

11. Czy istnieje zbiór kolejnych liczb naturalnych , tj. zbiór \(\displaystyle{ \{ m, m+1, …, m+k \}}\) który można podzielić na dwa rozłączne podzbiory o równych iloczynach elementów w tych podzbiorach ?
Uwagi: W rozwiązaniu elementarnym nie będzie się można podpierać własnością: iloczyn kolejnych liczb nie jest kwadratem.
12. Dla ustalonej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) wyznaczyć minimum wyrażenia
\(\displaystyle{ |x_1|+ |x_1 - x_2|+ |x_1+x_2 - x_3|+ ….+ |x_1+…+x_{n-1}-x_n|}\)
gdzie liczby \(\displaystyle{ x_j}\) są rzeczywiste i takie, że \(\displaystyle{ |x_1|+ …+ |x_n|=1.}\)
Dragomir Grozev's math blog

13. Rozwiązać układ
tj. wyznaczyć \(\displaystyle{ x, y, z ,w}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2 z^2 w^2 x = a^7 \\ z^2w^2x^2 y = b^7 \\ w^2x^2y^2z = c^7 \\ x^2y^2z^2w = d^7, \end{cases}}\)
gdy znane sa \(\displaystyle{ a, b , c , d.}\)
14. Na egzamin Profesor Grymasiński przygotował \(\displaystyle{ 3n}\) pytań. Student Wektorek zna odpowiedzi na \(\displaystyle{ 2n}\) pytań; losuje trzy pytania. Aby zdać, to musi poprawnie odpowiedzieć na co najmniej dwa. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Wektorek zda egzamin ?

15. Udowodnić, że każdy graf planarny o minimalnym stopniu co najmniej 3 ma dwa sąsiadujące wierzchołki o sumie stopni co najwyżej 13.
16. Gra
Gracz rzuca dwiema kostkami. Jeśli suma wyrzuconych oczek wynosi 7 lub 11, wygrywa i otrzymuje 3 punkty. Jeśli suma wynosi 2, 3 lub 12, przegrywa i traci 2 punkty. W każdym innym przypadku może zdecydować, czy chce rzucić jeszcze raz czy zakończyć grę i zachować dotychczasowy wynik (bez zysku ani straty punktów). Jeśli zdecyduje się rzucić jeszcze raz, obowiązują te same zasady.
Grę zaczyna z zerowym dorobkiem punktowym.
i) Jaka jest oczekiwana wartość punktów, które gracz może zdobyć, jeśli stosuje optymalną strategię?
ii) Jaką strategię powinien przyjąć gracz - kiedy powinien decydować się na kolejne rzuty, a kiedy przerwać grę?

17. Wykaż lub obal: Jeśli \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} }\), to \(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty} (f(x)+ \sqrt{x} f'(x)) = \lim_{x \to + \infty} f(x)}\)
(zakładamy, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją różniczkowalną i obydwie granice istnieją).
18. Udowodnić, że jeśli umieścić w dowolny sposób \(\displaystyle{ 2n}\) pionów na planszy \(\displaystyle{ n \times n}\), to jakieś cztery piony będą wyznaczały równoległobok.
powtórzone
19. Ile pierwiastków ma wielomian \(\displaystyle{ x^7 + 2x^6 - x^5+ x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x - 2}\) ?
20. Iloczyn z liczbami pierwszymi.
Wykazać, że \(\displaystyle{ \prod_{ p \equiv \pm 3 \ mod \ 8} \frac{p^2+1}{p^2-1} = \sqrt{2}.}\)

21. Łamana i szereg
Dany jest trójkąt. Budujemy nieskończony ciąg odcinków (łamaną) która jest zbudowana z wysokości naprzemiennie narysowanych na dwa boki trójkąta. Początkiem łamanej jest jeden z wierzchołków. Czy ma ona zawsze skończoną długość i czy zależy to od trójkąta ?
22. Wyznaczyć \(\displaystyle{ x }\) z równania
\(\displaystyle{ \frac{x-10}{x-2}+ \frac{x-9}{x-3}+ \frac{x-8}{x-4}+ \frac{x-7}{x-5}= -4. }\)
23. Przedstawić trzy istotnie różne dowody tego, iż \(\displaystyle{ \lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{n!} =+\infty.}\)
W jednym z nich wykazać, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!} > \sqrt{n}}\) dla \(\displaystyle{ n>2.}\)

24. Kropki
W punktach kratowych kwadratu narysowano kropki: czerwone lub niebieskie. W każdym wierszu i kolumnie jest równa ilość kropek obu kolorów. Jeśli mamy sąsiednie jednokolorowe kropki (w wierszu lub w kolumnie), to łączymy je odcinkiem o tym kolorze. Udowodnić, że czerwonych odcinków będzie tyle samo co niebieskich.
25. Ciąg
Niech określony będzie ciąg
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1=2 \\ a_2=5 \\ a_{n} = 2a_{n-1}+ 3 a_{n-2}. \end{cases}}\)
i) Wyznaczyć jawnie \(\displaystyle{ a_n.}\)
ii) Wyjaśnić, czy w tym ciągu jest nieskończenie wiele liczb pierwszych.
iii) Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.}\)
26. Konstrukcja
Niech dany będzie okrąg \(\displaystyle{ \omega_1}\) i dwa dowolne punkty. Skonstruować inny okrąg \(\displaystyle{ \omega_2}\), do którego należą te punkty i który wyznacza średnicę \(\displaystyle{ \omega_1}\) (przez punkty przecięcia okręgów).
Przedstawić warunki dla istnienia rozwiązania.
27. Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją ciągłą i \(\displaystyle{ f(x)+ f(1- \frac{1}{x}) = \arctg(x)}\) gdy \(\displaystyle{ x \neq 0}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x) \dd x.}\)
28. Prosty Diofantos
Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b}\) spełnione jest równanie \(\displaystyle{ a^2+1 =b(a+b) }\) ?
29. Czy jeśli suma dowolnych \(\displaystyle{ n }\) liczb spośród \(\displaystyle{ 2n+1 }\) liczb dodatnich jest mniejsza od sumy pozostałych \(\displaystyle{ n+1 }\) liczb, to wszystkie są równe ?
powtórzone
30. Z trzech naczyń, zawierających wodę o temperaturze odpowiednio \(\displaystyle{ 25^\circ, 45^\circ, 72^\circ}\) pobrano pewne ilości wody, które następnie zmieszano. Z trzeciego naczynia pobrano tyle, co z pierwszych dwu razem. Temperatura mieszaniny wynosiła \(\displaystyle{ 53^\circ}\). Potem dolano \(\displaystyle{ 60\,\text{g}}\) wody z pierwszego naczynia, przez co temperatura mieszaniny obniżyła się o \(\displaystyle{ 10,5^\circ}\). Ile wody pobrano na początku z każdego naczynia ?
S. Banach, Algebra

Wskazówka do 29

3

6.

Racja, moje rozwiązanie jest ok, gdyby dodać ze wnętrza parabol nie mają punktów wspólnych

Stwierdzenie, że istnieje para punktów minimalizująca odległość, wcale nie jest oczywiste i wymaga dowodu. Na przykład hiperbole `\pm 1/x` nie mają tej własności

8 cd

6 cd

kerajs pisze: 26 mar 2025, o 12:21

22:    

\(\displaystyle{ \frac{x-10}{x-2}+ \frac{x-9}{x-3}+ \frac{x-8}{x-4}+ \frac{x-7}{x-5}= -4 \\
1+\frac{-8}{x-2}+1+ \frac{-6}{x-3}+1+ \frac{-4}{x-4}+1+ \frac{-2}{x-5}= -4 \\
\frac{4}{x-2}+ \frac{3}{x-3}+ \frac{2}{x-4}+ \frac{1}{x-5}= 4 }\)
Można zauważyć, że wstawienie \(\displaystyle{ x=6}\) da po lewej stronie sumę czterech jedynek.
Z ciekawości, ze względu na symetrię mianowników względem \(\displaystyle{ x=3,5}\), sprawdziłem wartość lewej strony która także wyniosła 4.

Wymnożenie równania przez iloczyn mianowników da równanie wielomianowe stopnia czwartego. Jednak, skoro znano są już dwa jego rozwiązania, to potencjalne pozostałe dwa wyznaczy się z równania kwadratowego.

To, że \(\displaystyle{ x=6}\) jest rozwiązaniem najłatwiej widać podstawiając \(\displaystyle{ x=t+6}\). Wtedy równanie ma postać
\(\displaystyle{ \frac{t-4}{t+4}+\frac{t-3}{t+3}+\frac{t-2}{t+2}+\frac{t-1}{t+1}=-4}\)

Równanie ma jeszcze trzy dodatkowe rozwiązania, bo wykres rośnie od minus do plus nieskończoności w każdym z przedziałów \(\displaystyle{ (2,3), (3,4), (4,5)}\), ale one pewnie słabo się wyrażają w rozsądnej postaci.

Zadanie 27

(*) \(\displaystyle{ f(x)+f\left( 1- \frac{1}{x} \right) =\arctg(x)}\)

lub:

\(\displaystyle{ f(x)+f\left(\frac{x-1}{x} \right) =\arctg(x)}\)

podstawienie:

1) \(\displaystyle{ x:=1-x }\) do (*)

mamy:

2) \(\displaystyle{ f(1-x)+f\left(\frac{x}{x-1} \right) =\arctg(1-x)}\)

teraz podstawienie:

\(\displaystyle{ x:= \frac{1}{x}}\) do (*)

(**) \(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{x} \right) +f(1-x)=\arctg \frac{1}{x} }\)

teraz podstawienie:

\(\displaystyle{ x:=1- \frac{1}{x}}\) do (**)

otrzymamy:

4) \(\displaystyle{ f\left( \frac{x}{x-1} \right) +f\left( \frac{1}{x} \right) =\arctg \frac{x}{x-1} }\)

całkujemy obustronnie teraz: (*) oraz 2)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x)dx+ \int_{0}^{1} f\left( \frac{x-1}{x} \right) dx= \int_{0}^{1} \arctg(x) dx }\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(1-x)dx+ \int_{0}^{1} f\left( \frac{x}{x-1} \right) dx= \int_{0}^{1} \arctg(1-x) dx }\)

ale wiadomo, że:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(1-x)dx =\int_{0}^{1} f(x)dx}\)

więc z tych dwóch równań wyjdzie, że:

6) \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f\left( \frac{x}{x-1} \right) dx =\int_{0}^{1} f\left( \frac{x-1}{x} \right) dx}\)

scałkujmy teraz 4):

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f\left( \frac{x}{x-1} \right) dx +\int_{0}^{1} f\left( \frac{1}{x} \right) dx =\int_{0}^{1} \arctg\left( \frac{x}{x-1} \right) dx}\)

reasumując otrzymamy układ równań całkując (*) oraz biorąc pod uwagę 6):

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x)dx+ \int_{0}^{1} f\left(1-\frac{1}{x} \right) dx= \int_{0}^{1} \arctg(x) dx }\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f\left( \frac{1}{x} \right) dx+ \int_{0}^{1} f\left(1-\frac{1}{x} \right) dx= \int_{0}^{1} \arctg\left( \frac{x}{x-1} \right) dx }\)

odejmując dwa ostatnie równania stronami otrzymamy:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x)dx- \int_{0}^{1} f\left(\frac{1}{x} \right) dx= \int_{0}^{1} \arctg(x) dx -\int_{0}^{1} \arctg\left( \frac{x}{x-1} \right) dx}\)

teraz scałkujmy (**) oraz weźmy pod uwagę, że: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x)dx = \int_{0}^{1} f(1-x)dx}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x)dx+ \int_{0}^{1} f\left(\frac{1}{x} \right) dx= \int_{0}^{1} \arctg\left( \frac{1}{x} \right) dx}\)


dodając te dwa ostatnie stronami, otrzymamy:
\(\displaystyle{
2\int_{0}^{1} f(x)dx= \int_{0}^{1} \arctg(x) dx +\int_{0}^{1} \arctg\left( \frac{1}{x}\right)dx -\int_{0}^{1} \arctg\left( \frac{x}{x-1} \right) dx}\)

teraz biorąc pod uwagę, że:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \arctg(x) dx = \frac{\pi-2 \ln 2}{4} }\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \arctg \left( \frac{1}{x}\right) dx = \frac{\pi+2 \ln 2}{4}}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \arctg\left( \frac{x}{x-1} \right) dx =- \frac{\pi}{4} }\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2\int_{0}^{1} f(x)dx= \frac{3}{4} \pi}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x)dx= \frac{3}{8} \pi}\)

cnd...

W zadaniu 10 wyszło mi prawdopodobieństwo:

\(\displaystyle{ P=\frac{F_{n-1}}{F_{n}} }\)