Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ 2a^2-1}\), to \(\displaystyle{ p = 2b^2-c^2}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami całkowitymi. Czy także na odwrót

Przykład
\(\displaystyle{ p=23, \ a=9}\)

mol_ksiazkowy pisze: 5 gru 2024, o 00:56 Udowodnić, że jeśli liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ 2a^2-1}\), to \(\displaystyle{ p = 2b^2-c^2}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami całkowitymi. Czy także na odwrót

Na odwrót nie bałdzo
weźmy \(\displaystyle{ b=3}\) i \(\displaystyle{ c=4}\)

Według mnie działa to w obie strony, pierwsze równanie:

\(\displaystyle{ 2a^2-1=0 \mod p}\)

oznacza nic innego jak to , że: \(\displaystyle{ 2^{-1}}\) a co za tym idzie \(\displaystyle{ 2}\) jest resztą kwadratową w ciele \(\displaystyle{ \ZZ_{p}}\)

jeżeli tak to równanie jak gdyby Pella takie zmodyfikowane:

\(\displaystyle{ 2x^2-y^2=p}\)

ma rozwiązanie w dla tych liczb pierwszych w których ciałach dwójka jest resztą kwadratową, a więc w:

\(\displaystyle{ \ZZ_{t} , t=7, 17, 23, 31, 41,...}\)

inaczej:

\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{p} \right) =p^{ \frac{p-1}{2} }=1 \mod p}\)

W drugą stronę też to działa jak widać..

na pewno jest rozwiązanie :

\(\displaystyle{ 2x^2-y^2=0 \mod p}\)

arek1357 pisze: 8 sty 2025, o 08:26 Według mnie działa to w obie strony, ....:

Być może działa ale tylko dla liczb pierwszych nieparzystych. Pozostała grupa liczb pierwszych parzystych trochę miesza szyki.
\(\displaystyle{ b=3}\), \(\displaystyle{ c=4}\)
\(\displaystyle{ p=2 \cdot 3 ^{2}-4 ^{2} =18-16=2 }\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot a ^{2} -1}\) jest liczbą nieparzystą i trudno by było znaleźć liczbę pierwsza parzystą, która by była nieparzysta

Ale ja wyraźnie powiedziałem, że chodzi tu o liczby dla których dwa jest resztą kwadratową i te liczby to:

\(\displaystyle{ 7, 17, 23, 31, 41...}\)

\(\displaystyle{ 2x^2-y^2=7}\)

rozwiązanie jest:
https://www.wolframalpha.com/input?i=2x%5E2-y%5E2%3D7

\(\displaystyle{ 2x^2-y^2=17}\)
https://www.wolframalpha.com/input?i=2x%5E2-y%5E2%3D17
itd...

a np:

\(\displaystyle{ 2x^2-y^2=5}\)

brak rozwiązania...

wszystko zależy od tego czy dwójka jest resztą kwadratową czy nie...

Pozostała grupa liczb pierwszych parzystych

ile ich jeszcze znasz?

To jest grupa "jednoosobowa". Nazwałem to grupą bo liczby pierwsze dzielą się na dwie grupy- parzyste i nieparzyste.
Poza tym brzmi poważniej.