Trzy liczby

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ 2a^2-1}\), to \(\displaystyle{ p = 2b^2-c^2}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami całkowitymi. Czy także na odwrót

Przykład
\(\displaystyle{ p=23, \ a=9}\)

[Brombal]

Udowodnić, że jeśli liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ 2a^2-1}\), to \(\displaystyle{ p = 2b^2-c^2}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami całkowitymi. Czy także na odwrót

Na odwrót nie bałdzo
weźmy \(\displaystyle{ b=3}\) i \(\displaystyle{ c=4}\)

[arek1357]

Według mnie działa to w obie strony, pierwsze równanie:

\(\displaystyle{ 2a^2-1=0 \mod p}\)

oznacza nic innego jak to , że: \(\displaystyle{ 2^{-1}}\) a co za tym idzie \(\displaystyle{ 2}\) jest resztą kwadratową w ciele \(\displaystyle{ \ZZ_{p}}\)

jeżeli tak to równanie jak gdyby Pella takie zmodyfikowane:

\(\displaystyle{ 2x^2-y^2=p}\)

ma rozwiązanie w dla tych liczb pierwszych w których ciałach dwójka jest resztą kwadratową, a więc w:

\(\displaystyle{ \ZZ_{t} , t=7, 17, 23, 31, 41,...}\)

inaczej:

\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{p} \right) =p^{ \frac{p-1}{2} }=1 \mod p}\)

W drugą stronę też to działa jak widać..

na pewno jest rozwiązanie :

\(\displaystyle{ 2x^2-y^2=0 \mod p}\)

[Brombal]

Według mnie działa to w obie strony, ....:

Być może działa ale tylko dla liczb pierwszych nieparzystych. Pozostała grupa liczb pierwszych parzystych trochę miesza szyki.
\(\displaystyle{ b=3}\), \(\displaystyle{ c=4}\)
\(\displaystyle{ p=2 \cdot 3 ^{2}-4 ^{2} =18-16=2 }\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot a ^{2} -1}\) jest liczbą nieparzystą i trudno by było znaleźć liczbę pierwsza parzystą, która by była nieparzysta

[arek1357]

Ale ja wyraźnie powiedziałem, że chodzi tu o liczby dla których dwa jest resztą kwadratową i te liczby to:

\(\displaystyle{ 7, 17, 23, 31, 41...}\)

\(\displaystyle{ 2x^2-y^2=7}\)

rozwiązanie jest:
https://www.wolframalpha.com/input?i=2x%5E2-y%5E2%3D7

[arek1357]

\(\displaystyle{ 2x^2-y^2=17}\)
https://www.wolframalpha.com/input?i=2x%5E2-y%5E2%3D17
itd...

[arek1357]

a np:

\(\displaystyle{ 2x^2-y^2=5}\)

brak rozwiązania...

wszystko zależy od tego czy dwójka jest resztą kwadratową czy nie...

[arek1357]

Pozostała grupa liczb pierwszych parzystych

ile ich jeszcze znasz?

[Brombal]

To jest grupa "jednoosobowa". Nazwałem to grupą bo liczby pierwsze dzielą się na dwie grupy- parzyste i nieparzyste.
Poza tym brzmi poważniej.