Uzasadnij, że zbiór nie jest ciałem
: 25 lis 2024, o 00:45
Uzasadnij, że zbiór \(\displaystyle{ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c\in \QQ}\), nie jest ciałem.
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Wiemy, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=
\sqrt{6}}\). Wystarczy zatem pokazać, że \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) nie da się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c\in \QQ}\). Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt{6}=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}}\), dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c\in \QQ}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \sqrt{6}-a=b\sqrt{2}+c\sqrt{3}}\). Podnosimy do kwadratu:
\(\displaystyle{ 6-2\sqrt{6}a+a^2=2b^2+2bc\sqrt{6}+3c^2}\), czyli
\(\displaystyle{ a^2-2b^2-3c^2+6=\sqrt{6}(2bc+2a)}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ 2bc+2a \neq 0}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \sqrt{6}= \frac{a^2-2b^2-3c^2+6}{2bc+2a} }\) i teraz zauważmy, że liczba po prawej stronie jest złożeniem sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu liczb wymiernych, a więc jest wymierna. Natomiast pierwiastek z 6 jest niewymierny i mamy sprzeczność. Pozostaje sprawdzić co w przypadku, gdy \(\displaystyle{ 2bc+2a=0}\). Wówczas \(\displaystyle{ a=-bc}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ b^2c^2-2b^2-3c^2+6=0}\), czyli
\(\displaystyle{ db^2(c^2-2)-3(c^2-2)=0}\), więc
\(\displaystyle{ (b^2-2)(c^2-3)=0}\), ale to jest możliwe tylko, gdy \(\displaystyle{ b= \pm \sqrt{2}}\) lub \(\displaystyle{ c= \pm \sqrt{3}}\), a jak wiemy są to liczby niewymierne i mamy znowu sprzeczność.
To dowodzi, że pierwiastka z 6 nie da się przedstawić w danej postaci, stąd podany zbiór nie jest ciałem, gdyż nie jest zamknięty ze względu na mnożenie elementów.
Dobrze?
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Wiemy, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=
\sqrt{6}}\). Wystarczy zatem pokazać, że \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) nie da się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c\in \QQ}\). Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt{6}=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}}\), dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c\in \QQ}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \sqrt{6}-a=b\sqrt{2}+c\sqrt{3}}\). Podnosimy do kwadratu:
\(\displaystyle{ 6-2\sqrt{6}a+a^2=2b^2+2bc\sqrt{6}+3c^2}\), czyli
\(\displaystyle{ a^2-2b^2-3c^2+6=\sqrt{6}(2bc+2a)}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ 2bc+2a \neq 0}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \sqrt{6}= \frac{a^2-2b^2-3c^2+6}{2bc+2a} }\) i teraz zauważmy, że liczba po prawej stronie jest złożeniem sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu liczb wymiernych, a więc jest wymierna. Natomiast pierwiastek z 6 jest niewymierny i mamy sprzeczność. Pozostaje sprawdzić co w przypadku, gdy \(\displaystyle{ 2bc+2a=0}\). Wówczas \(\displaystyle{ a=-bc}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ b^2c^2-2b^2-3c^2+6=0}\), czyli
\(\displaystyle{ db^2(c^2-2)-3(c^2-2)=0}\), więc
\(\displaystyle{ (b^2-2)(c^2-3)=0}\), ale to jest możliwe tylko, gdy \(\displaystyle{ b= \pm \sqrt{2}}\) lub \(\displaystyle{ c= \pm \sqrt{3}}\), a jak wiemy są to liczby niewymierne i mamy znowu sprzeczność.
To dowodzi, że pierwiastka z 6 nie da się przedstawić w danej postaci, stąd podany zbiór nie jest ciałem, gdyż nie jest zamknięty ze względu na mnożenie elementów.
Dobrze?