Matematyka.pl

Oblicz granicę ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} }\)

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Najpierw zbadajmy zbieżność takiego oto szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{
\infty} \frac{n^n}{(n!)^2} }\). Z kryterium D'lamberta mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{((n+1)!)^2}\cdot\frac{(n!)^2}{n^n}=0<1}\), a więc ten szereg jest zbieżny. To oznacza, że warunek konieczny zbieżności szeregu jest spełniony, czyli
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}=0}\), a z tego wynika, że istnieje \(\displaystyle{ n_0\in\NN}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ n>n_0}\) mamy \(\displaystyle{
\frac{n^n}{(n!)^2}<1}\), co po przekształceniu daje nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{n}<\sqrt[n]{n!}}\). Zatem z twierdzenia o trzech ciągach mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}=\infty}\), bo \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}
\sqrt{n}=\infty}\).

Dobrze?

Twoja metoda angażowania szeregu do obliczenia prostej granicy ciągu jest dziwna.

Brakuje przejść: " co po przekształceniu daje nierówność ..." " zatem z twierdzenia o trzech ciągach ... "

Proponuję do obliczenia tej granicy wykorzystać twierdzenie:

" Jeżeli \(\displaystyle{ a_{n} >0 }\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = g }\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n} = g." }\)

dla ciągu \(\displaystyle{ a_{n} = n! }\)

albo nierówność:

\(\displaystyle{ \left(\frac{n}{e}\right)^{n} < n! < e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}.}\)

No dobra, ale u Ciebie trzeba znać jakieś twierdzenia, które ciężko zapamiętać, a u mnie jest tylko kryterium D'lamberta, które jest proste.

Ok, ale jak rozumiem, tak jak zrobiłem jest dobrze, zgadza się?

Twierdzenie o granicy ilorazu dwóch kolejnych wyrazów, to ABC teorii granic ciągu - powinieneś znać. Dowód nie jest trudny.

Nierówność szacowania silni - dowód trudniejszy.

Uzupełnij swoją metodę - powinno być dobrze.

max123321 pisze: 24 lis 2024, o 03:32dla wszystkich \(\displaystyle{ n>n_0}\) mamy \(\displaystyle{
\frac{n^n}{(n!)^2}<1}\), co po przekształceniu daje nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{n}<\sqrt[n]{n!}}\).

Po jakim przekształceniu?

JK

A coś źle przekształciłem? No mamy

\(\displaystyle{ \frac{n^n}{(n!)^2}<1 }\), a stąd
\(\displaystyle{ n^n<(n!)^2}\) pierwiastkujemy drugim stopniem i mamy
\(\displaystyle{ \sqrt{n}^n<n! }\) i pierwiastkujemy n-tym stopniem i mamy
\(\displaystyle{ \sqrt{n}<\sqrt[n]{n!}}\)

Dobrze?

Dobrze.

JK