Matematyka.pl

Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ \angle DAB + \angle BCD = \angle ABC}\).
Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\).
Udowodnić, że jest odległości punktu \(\displaystyle{ O}\) od prostych \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są równe.

Czy założenie o wypukłości jest niezbędne

Zrobiłam symulację w GeoGebrze dla kilkunastu wielokątów wklęsłych.
Warunek jest prawdziwy, co nie znaczy, że dla każdego wklęsłego zachodzi.

Z punktu \(\displaystyle{ B}\) prowadzimy (wewnątrz kąta \(\displaystyle{ \angle ABC}\)) półprostą \(\displaystyle{ \overrightarrow{BX}}\) taką, że \(\displaystyle{ \angle DCB=\angle XBC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle DAB=\angle XBA}\). Symetralna odcinka \(\displaystyle{ BC}\) jest dokładnie zbiorem punktów równooddalonych od prostych \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ BX}\), a symetralna odcinka \(\displaystyle{ AB}\) jest dokładnie zbiorem punktów równooddalonych od prostych \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BX}\). Stąd odległość punktu \(\displaystyle{ O}\) od \(\displaystyle{ CD}\) jest taka sama jak od \(\displaystyle{ BX}\) i taka sama jak od \(\displaystyle{ AD}\).

Założenie wypukłości nie jest istotne.