Matematyka.pl

Czy jeśli liczby naturalne \(\displaystyle{ a^2+b, \ b^2+c , \ c^2 +a}\) mają wspólny dzielnik pierwszy, to wtedy \(\displaystyle{ a-b, \ b-c , \ c-a}\) też mają wspólny dzielnik pierwszy

Otóż nie...

niech:

\(\displaystyle{ a=2, b=39, c=27 }\)

\(\displaystyle{ a^2+b=43 , b^2+c= 36 \cdot 43 , c^2+a=17 \cdot 43}\)

jak widać dzielnik pierwszy wynosi \(\displaystyle{ 43}\)

a teraz:

\(\displaystyle{ \left| a-b\right| =37 , \left| b-c\right| =12 , \left|c-a\right| =25}\)

dzielnik pierwszy nie istnieje...

a naprowadził mnie na to a4karo ponieważ rozwiązując układ równań:

\(\displaystyle{ a^2+b=0 \mod p}\)

\(\displaystyle{ b^2+c=0 \mod p}\)

\(\displaystyle{ c^2+a=0 \mod p}\)

jakieś tam \(\displaystyle{ p}\) ...

wyszło mi:

\(\displaystyle{ b=-a^2 , c=-a^4}\)

\(\displaystyle{ a^7=1}\)

i teraz jakby \(\displaystyle{ a}\) wynosiło zawsze i tylko \(\displaystyle{ -1}\) dla każdego \(\displaystyle{ p}\) - pierwszego to teza byłaby spełniona, ale tak
nie zawsze jest:

teoria-liczb-f26/jeszcze-jeden-pierwiastek-t457217.html

stąd mój patent na taką liczbę jak np.: \(\displaystyle{ 43}\)

cnd...