Matematyka.pl

Czy istnieje \(\displaystyle{ f}\) takie, że

\(\displaystyle{ f(x)+ f^{-1}(x)=1 }\)

dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) (\(\displaystyle{ f^{-1}}\) to funkcja odwrotna do \(\displaystyle{ f}\)).

Takich funkcji jest mnóstwo - wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}}\) i podzielić \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{1}{2} \right\}}\) na czwórki \(\displaystyle{ \{ a, b, c, d \}}\), takie że \(\displaystyle{ a+c = b+d = 1}\), i zdefiniować \(\displaystyle{ f}\) tak by dla każdej takiej czwórki

\(\displaystyle{ a \overset{f}{\mapsto} b \overset{f}{\mapsto} c \overset{f}{\mapsto} d \overset{f}{\mapsto} a}\).

\(\displaystyle{ f}\) z "firmówki"

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} |x+ \frac{1}{2} |+ \frac{1}{2} \ , \ A \\ -|x - \frac{3}{2} | + \frac{1}{2} \ , B \ \end{cases}}\)

A: \(\displaystyle{ \lfloor x - \frac{1}{2} \rfloor}\) jest nieparzyste
B: \(\displaystyle{ \lfloor x - \frac{1}{2} \rfloor}\) jest parzyste

A jakie inne własności ma takie \(\displaystyle{ f }\) ?

Funkcja:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^\varphi}{\varphi^{\varphi-1}} , x>0 }\)

spełnia ciekawy warunek:

\(\displaystyle{ f'(x)=f^{-1}(x) , x>0}\)