Matematyka.pl

Powiemy, że wielomian \(\displaystyle{ w}\) zmienia znak na przedziale \(\displaystyle{ [a, b]}\), jeśli \(\displaystyle{ w(a) \cdot w(b) < 0}\).

Niech \(\displaystyle{ u}\) będzie dowolnym wielomianem unormowanym stopnia \(\displaystyle{ n}\). Wielomian

\(\displaystyle{ v(x) = \prod_{k=1}^{n-1} \left( x - \left( k+\frac{1}{2} \right) \right)}\)

jest stopnia \(\displaystyle{ n-1}\) i zmienia znak na każdym przedziale \(\displaystyle{ [k, k+1]}\), gdzie \(\displaystyle{ k = 1, 2, \ldots, n-1}\). Stąd gdy \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\) jest dostatecznie duże, to zarówno \(\displaystyle{ u+tv}\), jak i \(\displaystyle{ u-tv}\) zmieniają znak na tych przedziałach. Jednak gdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) zmienia znak co najmniej \(\displaystyle{ n-1}\) razy, to zmienia go \(\displaystyle{ n}\) razy, bo w przeciwnym razie granice w nieskończonościach wyszłyby nie takie jak trzeba. A zatem \(\displaystyle{ u+tv}\) i \(\displaystyle{ u-tv}\) mają po \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków rzeczywistych i

\(\displaystyle{ u = \frac{(u+tv) + (u-tv)}{2}}\)

jest szukanym przedstawieniem.