Udowodnić, że dowolny unormowany wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) można przedstawić jako średnią arytmetyczna dwóch unormowanych wielomianów stopnia \(\displaystyle{ n}\), które mają \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków rzeczywistych.
Wielomian unormowany to taki, którego współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1.
Przykład \(\displaystyle{ x^2+1 = \frac{x^2+4x+1 + x^2-4x+1}{2} }\)
jest stopnia \(\displaystyle{ n-1}\) i zmienia znak na każdym przedziale \(\displaystyle{ [k, k+1]}\), gdzie \(\displaystyle{ k = 1, 2, \ldots, n-1}\). Stąd gdy \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\) jest dostatecznie duże, to zarówno \(\displaystyle{ u+tv}\), jak i \(\displaystyle{ u-tv}\) zmieniają znak na tych przedziałach. Jednak gdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) zmienia znak co najmniej \(\displaystyle{ n-1}\) razy, to zmienia go \(\displaystyle{ n}\) razy, bo w przeciwnym razie granice w nieskończonościach wyszłyby nie takie jak trzeba. A zatem \(\displaystyle{ u+tv}\) i \(\displaystyle{ u-tv}\) mają po \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków rzeczywistych i
Udowodnić, że dowolny unormowany wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) można przedstawić jako średnią arytmetyczna dwóch unormowanych wielomianów stopnia \(\displaystyle{ n}\), które mają \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków rzeczywistych.
