Systemy liczbowe: bin. oct. dec. hex. i trigintalny
: 6 cze 2024, o 23:59
— czyli binarny, octalny (ósemkowy), decymalny, heksadecymalny, oraz trzydziestkowy, który zajmie resztę posta.
Jaka cecha predestynuje system trigintalny do... no, do czegokolwiek?
Otóż, o ile systemy wymienione wcześniej nie są oparte na primoriale (z wyjątkiem binarnego!),
to system trigintalny — jest. Bowiem \(\displaystyle{ 30 =5\#= 2 \cdot 3 \cdot 5}\)
Tu istotna uwaga metodologiczna, aby zaprowadzić nieco porządku:
zapis liczb polega na tym, że każda liczba składa się z tworzących ją cyfr.
Ale są i liczby jednocyfrowe, co czasem prowadzi do pomyłek. Nie mam siły bić się z wiatrakami, i za każdym razem wdawać się w złożoną frazę, by dokładnie kontekst naświetlić, kiedy o cyfrach mówię, a kiedy o liczbach pięknych. Po prostu liczę na inteligencję słuchacza, jego zaangażowanie w temat, i przychylną domyślność.
Namawiam osoby, które zerkną przypadkowo, i owych cech z siebie nie wykrzeszą, aby po prostu na niniejszym zdaniu zakończyły czytanie tego posta, wszak są jeszcze inne wpisy, a nawet i inne fora. Tedy fora ze dwora, a kysz, a kysz, a kysz...
Dopóki nie zostanie wprowadzona nowa, opisana przeze mnie reprezentacja cyfr dyskusje-o-matematyce-f76/matryca-znako ... 56820.html — to trzeba się zadowalać tym, co jest (znane, i stosowane)
W systemie HEX-Dec cyfry powyżej dziewiątki — są oznaczane dużymi literami alfabetu łacińskiego, od A (10), do F (15)
Gdybyśmy chcieli użyć tej samej konwencji w systemie trigintalnym, to potrzebujemy 20 znaków z alfabetu: od A (10), do T (29)
Ale proponuję odrzucić pewne nawyknienie, i tworzyć cyfry trygintalne w oparciu o ich wartości wyrażane systemem decymalnym, przy użyciu dwóch cyfr dziesiętnych. Nie ma wielce istotnego powodu, by tego NIE zrobić! Tak więc o ile cyfry trygintalne w zakresie 10-29 wyglądają dokładnie tak samo, jak ich decymalne odpowiedniki, o tej samej wartości, to odrzucić trzeba myśl używania w zakresie 0-9 oznaczeń jednocyfrowych.
Tak więc zapisujemy:
00 = 0
01 = 1
02 = 2
.
.
.
09 = 9
No i oczywiście musimy wtedy używać spacji rozdzielającej każde dwa znaki, od następnych dwóch, aby nam się nie kaszaniło.
Ponieważ warto dzielić grupy znaków za pomocą separatora, to używać będziemy znaczka ` w tabeli Unicode zwanego Grave Accent. Wybrałem go ze względu na fakt, że ten właśnie znaczek używany jest jako separator w niektórych kalkulatorach, i jest przez nie ignorowany, czego nie można powiedzieć o kropkach, czy przecinkach...
W systemie decymalnym podzielność przez 2, i 5 jest łatwa, i ułamki \(\displaystyle{ \frac{n}{2} }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{n}{5} }\) mają skończone rozwinięcie dziesiętne. W systmie trigintalnym będą je też mieć skończone, a i takie samo będzie dla ułamka \(\displaystyle{ \frac{n}{3} }\), a warto zauważyć, iż w życiu codziennym częściej jabłko (czy cokolwiek innego) dzielimy na 3, niż na pięć części, nieprawdaż?
Ale czy to jest wystarczające uzasadnienie aby taki system wprowadzać?
No, na pewno nie do użytku codziennego. A i w matematyce jego zastosowanie na pewno nie jest uniwersalne, wszak nigdy taka potrzeba do głosu nie doszła, tak przynajmniej słyszałem...
To w takim razie po co? A po to, aby sprawniej prowadzić różne wyliczenia w teorii liczb, z naciskiem na poszukiwanie liczb pierwszych. Wyjaśniam, że jest tak w systemie dziesiętnym, że ostatnia cyfra dowolnie dużej liczby, może ją z miejsca wykluczać z grona kandydatek na liczbę pierwszą. Wiadomo że p-liczby nie mogą mieć ostatniej cyfry parzystej, ani równej \(\displaystyle{ 5}\)
Natomiast w systemie trigintalnym wykluczeń jest jeszcze więcej! Ale poniżej wypiszę cyfry (w postaci dwuznakowej!), które wykluczenia nie powodują, bowiem te cyfry są też liczbami, i to pierwszymi:
01, 03, 05 (sic!) 07, 11, 13, 17, 19, 23, 27, oraz 29
Jest ich 11, a reszta to cyfry-liczby złożone, odpad produkcyjny, który stanowi 63.333(3)% wartości liczbowych w tym przedziale, gdy podobne wykluczenia w systemie dziesiętnym dają wskaźnik deczko mniejszy: 60% — no, ktoś powie, te 3.333(3) [ciach] nie urywa.. Ha! Ale gdy pętla programowa przechodzi przez to miliardy razy, to już jest zysk zauważalny!
Czemu jednak w systemie dziesiętnym ostatnia cyfra równa 5 daną liczbę wyklucza, a w trigintalnym — nie? A bo inne są w tych systemach reguły podzielności! A o to właśnie biega...
i to by było na tyle!
Jaka cecha predestynuje system trigintalny do... no, do czegokolwiek?
Otóż, o ile systemy wymienione wcześniej nie są oparte na primoriale (z wyjątkiem binarnego!),
to system trigintalny — jest. Bowiem \(\displaystyle{ 30 =5\#= 2 \cdot 3 \cdot 5}\)
Tu istotna uwaga metodologiczna, aby zaprowadzić nieco porządku:
zapis liczb polega na tym, że każda liczba składa się z tworzących ją cyfr.
Ale są i liczby jednocyfrowe, co czasem prowadzi do pomyłek. Nie mam siły bić się z wiatrakami, i za każdym razem wdawać się w złożoną frazę, by dokładnie kontekst naświetlić, kiedy o cyfrach mówię, a kiedy o liczbach pięknych. Po prostu liczę na inteligencję słuchacza, jego zaangażowanie w temat, i przychylną domyślność.
Namawiam osoby, które zerkną przypadkowo, i owych cech z siebie nie wykrzeszą, aby po prostu na niniejszym zdaniu zakończyły czytanie tego posta, wszak są jeszcze inne wpisy, a nawet i inne fora. Tedy fora ze dwora, a kysz, a kysz, a kysz...
Dopóki nie zostanie wprowadzona nowa, opisana przeze mnie reprezentacja cyfr dyskusje-o-matematyce-f76/matryca-znako ... 56820.html — to trzeba się zadowalać tym, co jest (znane, i stosowane)
W systemie HEX-Dec cyfry powyżej dziewiątki — są oznaczane dużymi literami alfabetu łacińskiego, od A (10), do F (15)
Gdybyśmy chcieli użyć tej samej konwencji w systemie trigintalnym, to potrzebujemy 20 znaków z alfabetu: od A (10), do T (29)
Ale proponuję odrzucić pewne nawyknienie, i tworzyć cyfry trygintalne w oparciu o ich wartości wyrażane systemem decymalnym, przy użyciu dwóch cyfr dziesiętnych. Nie ma wielce istotnego powodu, by tego NIE zrobić! Tak więc o ile cyfry trygintalne w zakresie 10-29 wyglądają dokładnie tak samo, jak ich decymalne odpowiedniki, o tej samej wartości, to odrzucić trzeba myśl używania w zakresie 0-9 oznaczeń jednocyfrowych.
Tak więc zapisujemy:
00 = 0
01 = 1
02 = 2
.
.
.
09 = 9
No i oczywiście musimy wtedy używać spacji rozdzielającej każde dwa znaki, od następnych dwóch, aby nam się nie kaszaniło.
Ponieważ warto dzielić grupy znaków za pomocą separatora, to używać będziemy znaczka ` w tabeli Unicode zwanego Grave Accent. Wybrałem go ze względu na fakt, że ten właśnie znaczek używany jest jako separator w niektórych kalkulatorach, i jest przez nie ignorowany, czego nie można powiedzieć o kropkach, czy przecinkach...
W systemie decymalnym podzielność przez 2, i 5 jest łatwa, i ułamki \(\displaystyle{ \frac{n}{2} }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{n}{5} }\) mają skończone rozwinięcie dziesiętne. W systmie trigintalnym będą je też mieć skończone, a i takie samo będzie dla ułamka \(\displaystyle{ \frac{n}{3} }\), a warto zauważyć, iż w życiu codziennym częściej jabłko (czy cokolwiek innego) dzielimy na 3, niż na pięć części, nieprawdaż?
Ale czy to jest wystarczające uzasadnienie aby taki system wprowadzać?
No, na pewno nie do użytku codziennego. A i w matematyce jego zastosowanie na pewno nie jest uniwersalne, wszak nigdy taka potrzeba do głosu nie doszła, tak przynajmniej słyszałem...
To w takim razie po co? A po to, aby sprawniej prowadzić różne wyliczenia w teorii liczb, z naciskiem na poszukiwanie liczb pierwszych. Wyjaśniam, że jest tak w systemie dziesiętnym, że ostatnia cyfra dowolnie dużej liczby, może ją z miejsca wykluczać z grona kandydatek na liczbę pierwszą. Wiadomo że p-liczby nie mogą mieć ostatniej cyfry parzystej, ani równej \(\displaystyle{ 5}\)
Natomiast w systemie trigintalnym wykluczeń jest jeszcze więcej! Ale poniżej wypiszę cyfry (w postaci dwuznakowej!), które wykluczenia nie powodują, bowiem te cyfry są też liczbami, i to pierwszymi:
01, 03, 05 (sic!) 07, 11, 13, 17, 19, 23, 27, oraz 29
Jest ich 11, a reszta to cyfry-liczby złożone, odpad produkcyjny, który stanowi 63.333(3)% wartości liczbowych w tym przedziale, gdy podobne wykluczenia w systemie dziesiętnym dają wskaźnik deczko mniejszy: 60% — no, ktoś powie, te 3.333(3) [ciach] nie urywa.. Ha! Ale gdy pętla programowa przechodzi przez to miliardy razy, to już jest zysk zauważalny!
Czemu jednak w systemie dziesiętnym ostatnia cyfra równa 5 daną liczbę wyklucza, a w trigintalnym — nie? A bo inne są w tych systemach reguły podzielności! A o to właśnie biega...
i to by było na tyle!