Teorię najlepiej zrozumieć poprzez wzór
\(\displaystyle{ \ln z = \ln | z | + i \arg z}\).
Funkcja
\(\displaystyle{ \arg}\) przypisuje niezerowym liczbom zespolonym jeden z ich argumentów, tj. kątów
\(\displaystyle{ \varphi \in \mathbb{R}}\) spełniających
\(\displaystyle{ z = |z| \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi)}\). Takich kątów jest zawsze nieskończenie wiele, bo jeśli
\(\displaystyle{ \varphi}\) jest dobrym kątem, to wszystkie jego przesunięcia o
\(\displaystyle{ 2 \pi}\) również. To wprowadza pewną osobliwość do natury funkcji
\(\displaystyle{ \arg}\): nawet jeśli dla każdej liczby
\(\displaystyle{ z \in \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}}\) wybierzemy arbitralnie któryś z jej kątów
\(\displaystyle{ \arg(z) = \varphi}\), to nie da się tego zrobić w taki sposób, by funkcja
\(\displaystyle{ \arg : \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}}\) była ciągła. Gdyby bowiem takie ciągłe przypisanie istniało, to punktowi, który podróżuje w kierunku dodatnim (tzn. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) po okręgu jednostkowym, musiałyby odpowiadać kąty rosnące w sposób ciągły, a po przejściu całego okręgu wartość argumentu byłaby o
\(\displaystyle{ 2 \pi}\) większa niż na początku.
Analogiczny problem dotyczy funkcji logarytm z uwagi na przytoczony uprzednio wzór. Istnieją też inne funkcje o tej naturze, np. pierwiastek, arcus sinus, arcus tangens - typowo powstają one z odwracania klasycznych funkcji holomorficznych.
W idealnym świecie chcielibyśmy, by argument był po prostu funkcją ciągłą na
\(\displaystyle{ \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}}\) (wtedy byłby nawet funkcją harmoniczną), a logarytm - funkcją holomorficzną. Jednak z uwagi na opisany wyżej problem, definiując funkcję
\(\displaystyle{ \ln}\) (lub
\(\displaystyle{ \arg}\) - jedno pociąga drugie) zawsze trzeba pójść na jakieś ustępstwo:
- Pogodzić się z faktem, że argument nie jest funkcją ciągłą (a logarytm - holomorficzną itd.). Najczęściej definiuje się go tak, by był ciągły na
\(\displaystyle{ \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]}\) lub ogólniej na
\(\displaystyle{ \mathbb{C} \setminus R}\), gdzie
\(\displaystyle{ R}\) jest pewną półprostą o początku w zerze.
- Usunąć z dziedziny wystarczająco duży zbiór, by na tym co zostanie argument mógł już być ciągły. Przykładowo można usunąć jakąkolwiek wspomnianą wyżej półprostą
\(\displaystyle{ R}\). Takie funkcje zdefiniowane na pomniejszonej dziedzinie nazywa się
gałęziami (argumentu, logarytmu...). Znana jest klasyfikacja wszystkich obszarów, w których można określić ciągły argument: to dokładnie te, które nie zawierają krzywej zamkniętej obiegającej punkt
\(\displaystyle{ 0}\). W szczególności dobre są wszystkie obszary jednospójne zawarte w
\(\displaystyle{ \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}}\).
- Traktować argument jako funkcję wielowartościową - albo czysto teoriomnogościowo, albo (w przypadku logarytmu) z uwzględnieniem struktury holomorficznej, co prowadzi do takich pojęć jak
pełna funkcja analityczna i
powierzchnia Riemanna.
Tutaj też napisałem kiedyś trochę w tym temacie, niestety od tamtej pory TikZ przestał być obsługiwany przez forum.
A od strony praktycznej, po jednokrotnym obiegnięciu punktu
\(\displaystyle{ z_0 = -1}\) dodatnio przez punkt
\(\displaystyle{ z}\) po krzywej zamkniętej zawartej w obszarze
\(\displaystyle{ |z+1| > 2}\), część urojona każdej z funkcji
\(\displaystyle{ \ln(z-1)}\) i
\(\displaystyle{ \ln(z+3)}\) zwiększa się o
\(\displaystyle{ 2 \pi}\). Ten niezerowy przyrost argumentu znów stanowi problem dla poprawnego określenia obu funkcji, i to ów nazwałem w moim poprzednim wpisie "haczykiem". Można by wprawdzie rozważać je jako pełne funkcje analityczne, ale takie funkcje nie rozwijają się na ogół w szereg Laurenta.
Jednak gdy rozważymy różnicę
\(\displaystyle{ \ln(z-1) - \ln(z+3)}\), to przyrost wzdłuż każdej krzywej zamkniętej wynosi zero, dlatego jest to poprawnie określona funkcja na zbiorze
\(\displaystyle{ |z+1| > 2}\). Pewnym odzwierciedleniem tego, że problem zniknął, jest fakt że po czysto formalnym przekształceniu
\(\displaystyle{ \ln(z-1) - \ln(z+3) = \ln \frac{z-1}{z+3}}\)
obrazem zbioru
\(\displaystyle{ |z+1| > 2}\) przez funkcję
\(\displaystyle{ \frac{z-1}{z+3}}\) jest zbiór
\(\displaystyle{ \Re \, z > 0}\). Na takim zbiorze zaś logarytm można bezproblemowo określić, bo jest to obszar jednospójny omijający zero. Dlatego też lepiej od razu zostawić funkcję w postaci
\(\displaystyle{ \ln \frac{z-1}{z+3}}\), bo wtedy z tej poprawnej określoności nie trzeba się zanadto tłumaczyć - wystarczy przyjąć, że
\(\displaystyle{ \ln}\) oznacza jedyną gałąź logarytmu na zbiorze
\(\displaystyle{ \Re \, z > 0}\) spełniającą
\(\displaystyle{ \ln(1) = 0}\).
Mlodsza pisze: 31 maja 2024, o 21:16Jak
a priori poznac, ze jakas funkcja ma ow haczyk? I ze haczyki funkcji, wystepujacych w dabej funkcji, sie zniweluja?
Abstrahując od "haczyków", które skojarzyły mi się z konkretnym przykładem, ogólnie powinnaś być ostrożna w obsłudze funkcji zespolonych wielowartościowych (logarytm, pierwiastek, arcus tangens etc.). Szczególnie jeśli dziedzina funkcji nie jest zbiorem jednospójnym - tj. jeśli istnieje w nim krzywa zamknięta niedająca się w ciągły sposób przekształcić do punktu bez wychodzenia poza obszar - to przedłużając funkcję wzdłuż takiej krzywej powinniśmy zawsze wrócić do początkowej wartości. Na przykład: przedłużając
\(\displaystyle{ \ln(z-1)}\) dodatnio wzdłuż okręgu wokół
\(\displaystyle{ -1}\) o promieniu
\(\displaystyle{ 3}\), otrzymujemy wzrost wartości o
\(\displaystyle{ 2 \pi i}\), co oznacza że funkcja nie jest jednoznaczna w obszarze
\(\displaystyle{ |z+1|>2}\) i nie stosują się do niej zwyczajne konstrukcje, takie jak szereg Laurenta. (Czasem taka funkcja daje się rozwinąć w szereg Puiseux. )
Mlodsza pisze: 31 maja 2024, o 21:16\(\displaystyle{ g(z)= \ln\frac{(z-1)^2}{(z+2)(z+3)}, ~~~~h(z)= \ln\frac{z-1}{(z+2)(z+3)},}\)
w obszarze jak wyzej. Funkcja
\(\displaystyle{ g}\) da sie rozwinac, zas
\(\displaystyle{ h}\) - nie: "niewygodne" wyrazy sie nie kasuja.
Na poziomie intuicji znów przesądza o tym fakt, że gdy
\(\displaystyle{ z}\) okrąża zero po dużym okręgu, to wartość pierwszej funkcji wraca do wartości początkowej, a drugiej funkcji nie. Można by się pokusić o ogólniejszą obserwację, że gdy
\(\displaystyle{ w(z)}\) jest funkcją wymierną i
\(\displaystyle{ |z| \le R}\) jest kołem obejmującym pierwiastki licznika i mianownika, to w obszarze
\(\displaystyle{ |z| > R}\) funkcja
\(\displaystyle{ \ln w(z)}\) jest jednoznaczna wtedy i tylko wtedy, gdy
\(\displaystyle{ \deg w = 0}\). Ale to nadal tylko szczególny przypadek, a w ogólności trzeba pracować wyobraźnią.
Formalnie zaś jest to kwestia konwencji, jaką przyjęto na danym wykładzie czy w podręczniku. O ile wiem, nie ma ogólnie przyjętej konwencji jaką dokładnie funkcję definiuje napis typu
\(\displaystyle{ \ln \frac{(z-1)^2}{(z+2)(z+3)}}\) - potrzebne jest wyjaśnienie w jakim sensie ten logarytm. Dopiero z takiego wyjaśnienia powinno wynikać, czy funkcja jest poprawnie określona. Patrzenie, czy po zróżniczkowaniu funkcji problematyczne wyrazy szeregu się skracają, to tylko pewna heurystyka, która nie jest poprawna formalnie - nie można zróżniczkować czegoś, co nie zostało precyzyjnie określone.
Nie wiem czy wystarczająco konkretnie to wyjaśniłem, w razie czego można dopytywać.
PS Nie trzeba per "Pan". ;)
