Szereg Laurenta logarytmu.

[Mlodsza]

Rozwinac w szereg Laurenta funkcje \(\displaystyle{ f(z)=\ln\frac{z-1}{z+3}}\) w punkcie \(\displaystyle{ z_0=-1}\) w obszarze \(\displaystyle{ |z+1|>2}\)

Zapisalam \(\displaystyle{ f}\) jako roznice logarytmow, rozwinelam \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{(z+1)^{n+1}}, ~~|z+1|>2}\) z mysla, ze da sie scalkowac. Ale pierwszy wyraz szeregu to \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}}\), wiec szereg Laurenta sie tu nie urodzi.
Bylabym wdzieczna, gdyby kros zechcial powiedziec, co tu jest nie tak i ewentualnie podal malenka wskazowke.

[Dasio11]

Zwyczajny wzór na różnicę logarytmów nie działa w liczbach zespolonych. Co więcej, o ile sama funkcja \(\displaystyle{ \ln \frac{z-1}{z+3}}\) jest w obszarze \(\displaystyle{ |z+1| > 2}\) dobrze określona, o tyle \(\displaystyle{ \ln(z-1)}\) i \(\displaystyle{ \ln(z+3)}\) już takie nie są. W pewnym sensie oba te logarytmy mają problematyczny "haczyk", a przy odejmowaniu te haczyki się skracają. :> Dlatego rozbicie funkcji na różnicę logarytmów bez obszernych wyjaśnień jest błędem.

To samo zjawisko ujawnia się w następnym kroku: nie da się efektywnie scałkować żadnego z szeregów odpowiadających pojedynczemu logarytmowi, za to da się scałkować ich różnicę, bo problematyczne wyrazy się skracają. Jeśli bezpośrednio zróżniczkujesz funkcję \(\displaystyle{ \ln \frac{z-1}{z+3}}\), to otrzymasz ten sam wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z+3}}\) (tym razem poprawnie), a dalej wystarczy rozwinąć oba ułamki w szereg, odjąć i scałkować.

[Mlodsza]

Bardzo jestem Panu wdzieczna za ten komentarz.
Czy moglabym jeszcze prosic o wyjasnienie, co to za "haczyk", prosze tylko rzucic haslo, ja doczytam. Czy chodzi o to, ze zeby nie doszlo do nieszczescia z ciagloscia, logarytm musi byc okreslony na plaszcyznie z wyrzucona polprosta? Jak a priori poznac, ze jakas funkcja ma ow haczyk?
I ze haczyki funkcji, wystepujacych w dabej funkcji, sie zniweluja?

Jesli nie sprawi Panu klopotu, prosze rzucic okiem na takie przyklady:

\(\displaystyle{ g(z)= \ln\frac{(z-1)^2}{(z+2)(z+3)}, ~~~~h(z)= \ln\frac{z-1}{(z+2)(z+3)},}\)

w obszarze jak wyzej. Funkcja \(\displaystyle{ g}\) da sie rozwinac, zas \(\displaystyle{ h}\) - nie: "niewygodne" wyrazy sie nie kasuja.

[Dasio11]

Teorię najlepiej zrozumieć poprzez wzór \(\displaystyle{ \ln z = \ln | z | + i \arg z}\).

Funkcja \(\displaystyle{ \arg}\) przypisuje niezerowym liczbom zespolonym jeden z ich argumentów, tj. kątów \(\displaystyle{ \varphi \in \mathbb{R}}\) spełniających \(\displaystyle{ z = |z| \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi)}\). Takich kątów jest zawsze nieskończenie wiele, bo jeśli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest dobrym kątem, to wszystkie jego przesunięcia o \(\displaystyle{ 2 \pi}\) również. To wprowadza pewną osobliwość do natury funkcji \(\displaystyle{ \arg}\): nawet jeśli dla każdej liczby \(\displaystyle{ z \in \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}}\) wybierzemy arbitralnie któryś z jej kątów \(\displaystyle{ \arg(z) = \varphi}\), to nie da się tego zrobić w taki sposób, by funkcja \(\displaystyle{ \arg : \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}}\) była ciągła. Gdyby bowiem takie ciągłe przypisanie istniało, to punktowi, który podróżuje w kierunku dodatnim (tzn. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) po okręgu jednostkowym, musiałyby odpowiadać kąty rosnące w sposób ciągły, a po przejściu całego okręgu wartość argumentu byłaby o \(\displaystyle{ 2 \pi}\) większa niż na początku.

Analogiczny problem dotyczy funkcji logarytm z uwagi na przytoczony uprzednio wzór. Istnieją też inne funkcje o tej naturze, np. pierwiastek, arcus sinus, arcus tangens - typowo powstają one z odwracania klasycznych funkcji holomorficznych.

W idealnym świecie chcielibyśmy, by argument był po prostu funkcją ciągłą na \(\displaystyle{ \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}}\) (wtedy byłby nawet funkcją harmoniczną), a logarytm - funkcją holomorficzną. Jednak z uwagi na opisany wyżej problem, definiując funkcję \(\displaystyle{ \ln}\) (lub \(\displaystyle{ \arg}\) - jedno pociąga drugie) zawsze trzeba pójść na jakieś ustępstwo:

- Pogodzić się z faktem, że argument nie jest funkcją ciągłą (a logarytm - holomorficzną itd.). Najczęściej definiuje się go tak, by był ciągły na \(\displaystyle{ \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]}\) lub ogólniej na \(\displaystyle{ \mathbb{C} \setminus R}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest pewną półprostą o początku w zerze.

- Usunąć z dziedziny wystarczająco duży zbiór, by na tym co zostanie argument mógł już być ciągły. Przykładowo można usunąć jakąkolwiek wspomnianą wyżej półprostą \(\displaystyle{ R}\). Takie funkcje zdefiniowane na pomniejszonej dziedzinie nazywa się gałęziami (argumentu, logarytmu...). Znana jest klasyfikacja wszystkich obszarów, w których można określić ciągły argument: to dokładnie te, które nie zawierają krzywej zamkniętej obiegającej punkt \(\displaystyle{ 0}\). W szczególności dobre są wszystkie obszary jednospójne zawarte w \(\displaystyle{ \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}}\).

- Traktować argument jako funkcję wielowartościową - albo czysto teoriomnogościowo, albo (w przypadku logarytmu) z uwzględnieniem struktury holomorficznej, co prowadzi do takich pojęć jak pełna funkcja analityczna i powierzchnia Riemanna.

Tutaj też napisałem kiedyś trochę w tym temacie, niestety od tamtej pory TikZ przestał być obsługiwany przez forum.


A od strony praktycznej, po jednokrotnym obiegnięciu punktu \(\displaystyle{ z_0 = -1}\) dodatnio przez punkt \(\displaystyle{ z}\) po krzywej zamkniętej zawartej w obszarze \(\displaystyle{ |z+1| > 2}\), część urojona każdej z funkcji \(\displaystyle{ \ln(z-1)}\) i \(\displaystyle{ \ln(z+3)}\) zwiększa się o \(\displaystyle{ 2 \pi}\). Ten niezerowy przyrost argumentu znów stanowi problem dla poprawnego określenia obu funkcji, i to ów nazwałem w moim poprzednim wpisie "haczykiem". Można by wprawdzie rozważać je jako pełne funkcje analityczne, ale takie funkcje nie rozwijają się na ogół w szereg Laurenta.

Jednak gdy rozważymy różnicę \(\displaystyle{ \ln(z-1) - \ln(z+3)}\), to przyrost wzdłuż każdej krzywej zamkniętej wynosi zero, dlatego jest to poprawnie określona funkcja na zbiorze \(\displaystyle{ |z+1| > 2}\). Pewnym odzwierciedleniem tego, że problem zniknął, jest fakt że po czysto formalnym przekształceniu

\(\displaystyle{ \ln(z-1) - \ln(z+3) = \ln \frac{z-1}{z+3}}\)

obrazem zbioru \(\displaystyle{ |z+1| > 2}\) przez funkcję \(\displaystyle{ \frac{z-1}{z+3}}\) jest zbiór \(\displaystyle{ \Re \, z > 0}\). Na takim zbiorze zaś logarytm można bezproblemowo określić, bo jest to obszar jednospójny omijający zero. Dlatego też lepiej od razu zostawić funkcję w postaci \(\displaystyle{ \ln \frac{z-1}{z+3}}\), bo wtedy z tej poprawnej określoności nie trzeba się zanadto tłumaczyć - wystarczy przyjąć, że \(\displaystyle{ \ln}\) oznacza jedyną gałąź logarytmu na zbiorze \(\displaystyle{ \Re \, z > 0}\) spełniającą \(\displaystyle{ \ln(1) = 0}\).

Jak a priori poznac, ze jakas funkcja ma ow haczyk? I ze haczyki funkcji, wystepujacych w dabej funkcji, sie zniweluja?

Abstrahując od "haczyków", które skojarzyły mi się z konkretnym przykładem, ogólnie powinnaś być ostrożna w obsłudze funkcji zespolonych wielowartościowych (logarytm, pierwiastek, arcus tangens etc.). Szczególnie jeśli dziedzina funkcji nie jest zbiorem jednospójnym - tj. jeśli istnieje w nim krzywa zamknięta niedająca się w ciągły sposób przekształcić do punktu bez wychodzenia poza obszar - to przedłużając funkcję wzdłuż takiej krzywej powinniśmy zawsze wrócić do początkowej wartości. Na przykład: przedłużając \(\displaystyle{ \ln(z-1)}\) dodatnio wzdłuż okręgu wokół \(\displaystyle{ -1}\) o promieniu \(\displaystyle{ 3}\), otrzymujemy wzrost wartości o \(\displaystyle{ 2 \pi i}\), co oznacza że funkcja nie jest jednoznaczna w obszarze \(\displaystyle{ |z+1|>2}\) i nie stosują się do niej zwyczajne konstrukcje, takie jak szereg Laurenta. (Czasem taka funkcja daje się rozwinąć w szereg Puiseux. )

\(\displaystyle{ g(z)= \ln\frac{(z-1)^2}{(z+2)(z+3)}, ~~~~h(z)= \ln\frac{z-1}{(z+2)(z+3)},}\)

w obszarze jak wyzej. Funkcja \(\displaystyle{ g}\) da sie rozwinac, zas \(\displaystyle{ h}\) - nie: "niewygodne" wyrazy sie nie kasuja.

Na poziomie intuicji znów przesądza o tym fakt, że gdy \(\displaystyle{ z}\) okrąża zero po dużym okręgu, to wartość pierwszej funkcji wraca do wartości początkowej, a drugiej funkcji nie. Można by się pokusić o ogólniejszą obserwację, że gdy \(\displaystyle{ w(z)}\) jest funkcją wymierną i \(\displaystyle{ |z| \le R}\) jest kołem obejmującym pierwiastki licznika i mianownika, to w obszarze \(\displaystyle{ |z| > R}\) funkcja \(\displaystyle{ \ln w(z)}\) jest jednoznaczna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \deg w = 0}\). Ale to nadal tylko szczególny przypadek, a w ogólności trzeba pracować wyobraźnią.

Formalnie zaś jest to kwestia konwencji, jaką przyjęto na danym wykładzie czy w podręczniku. O ile wiem, nie ma ogólnie przyjętej konwencji jaką dokładnie funkcję definiuje napis typu \(\displaystyle{ \ln \frac{(z-1)^2}{(z+2)(z+3)}}\) - potrzebne jest wyjaśnienie w jakim sensie ten logarytm. Dopiero z takiego wyjaśnienia powinno wynikać, czy funkcja jest poprawnie określona. Patrzenie, czy po zróżniczkowaniu funkcji problematyczne wyrazy szeregu się skracają, to tylko pewna heurystyka, która nie jest poprawna formalnie - nie można zróżniczkować czegoś, co nie zostało precyzyjnie określone.

Nie wiem czy wystarczająco konkretnie to wyjaśniłem, w razie czego można dopytywać.

PS Nie trzeba per "Pan". ;)

[Jan Kraszewski]

Tutaj też napisałem kiedyś trochę w tym temacie, niestety od tamtej pory TikZ przestał być obsługiwany przez forum.

TikZ przestał być obsługiwany, ale można za to dodawać obrazki - można już podziwiać post Dasia w pełnej okazałości.

JK

[Mlodsza]

Nie wiem czy wystarczająco konkretnie to wyjaśniłem, w razie czego można dopytywać.

PS Nie trzeba per "Pan".

Bardzo konkretnie i doglebnie. Jeszcze raz piekne dzieki dla...ciebie Tak czulam, ze rozbija sie o ta jednospojnosc i ciaglosc, teraz wreszcie to wszystko mi sie we lbie ulozylo.