Matematyka.pl

Jak w tytule.
Skonstruować funkcję różniczkowalną, której pochodna jest dodatnia poza zerem i nieciągła w zerze.

Dla mnie warunki ''funkcja różniczkowalna'' i ''jej pochodna jest nieciągła w zerze'' się wykluczają.

Pewnie wszystko rozbija się o niuanse przyjętych definicji.
Czy
\(\displaystyle{
y=\begin{cases} x \ \ \ , x<0 \\ 2x \ \ \ , x \ge 0 \end{cases} }\)
jest ściśle rosnąca , i różniczkowalna ? I dlaczego?

Dla mnie warunki ''funkcja różniczkowalna'' i ''jej pochodna jest nieciągła w zerze'' się wykluczają.

Czemu?

jest ściśle rosnąca , i różniczkowalna ?

W zerze nie

kerajs pisze: 7 kwie 2024, o 08:14 Dla mnie warunki ''funkcja różniczkowalna'' i ''jej pochodna jest nieciągła w zerze'' się wykluczają.

Pewnie wszystko rozbija się o niuanse przyjętych definicji.
Czy
\(\displaystyle{
y=\begin{cases} x \ \ \ , x<0 \\ 2x \ \ \ , x \ge 0 \end{cases} }\)
jest ściśle rosnąca , i różniczkowalna ? I dlaczego?

\(\displaystyle{ x^2\sin 1/x}\) jest różniczkowalna wszędzie, a jej pochodne jest nieciągła w zerze

mamy taki prosty fakcik: dowolna funkcja \(f\colon \mathbb R \to \mathbb R\) spełniająca \(x-x^2 \le f(x) \le x+x^2\) jest różniczkowalna w zerze i \(f'(0)=1\)

w oparciu o to raczej łatwo skonstruować szukaną funkcję: wystarczy zadbać o to, by \(f\) spełniała założenia fakciku, a do tego była rosnąca, różniczkowalna i \(f'\left(\frac 1n\right)=n\) dla \(n\in\mathbb N\)

taką funkcję można zmontować sklejając odpowiednie funkcje na przedziałach postaci \(\left(\frac 1{n+1},\frac 1n\right)\) dla \(n=1,2,3,\ldots\), a wszędzie indziej określić \(f(x)=x\) --- uzupełnienie szczegółów pozostawiam czytelnikowi

arek1357 pisze: 7 kwie 2024, o 09:36

Dla mnie warunki ''funkcja różniczkowalna'' i ''jej pochodna jest nieciągła w zerze'' się wykluczają.

Czemu?

Bo różniczkowalność w danym punkcie jest równoważna ciągłości pochodnej w tym punkcie.

Cóż, nie wpadłem na to, że w zero z zadania może być poza dziedziną szukanej funkcji. A skoro może, to zadanie staje się trywialne.
Ot, choćby lekko zmodyfikowany poprzedni przykład:
\(\displaystyle{
y=\begin{cases} x \ \ \ , x<0 \\ 2x \ \ \ , x > 0 \end{cases} }\)

Różniczkowalność funkcji implikuje ciągłośc funkcji, ale nie na odwrót.
Funkcja \(\displaystyle{ x^2\sin 1/x}\) dla `x\ne 0`, i `0` dla `x=0` jest różniczkowalna. (myślałem, że na tym poziomie potrafisz sobie dopowiedzieć wartość w zerze)

kerajs pisze: 9 kwie 2024, o 08:39Bo różniczkowalność w danym punkcie jest równoważna ciągłości pochodnej w tym punkcie.

to nieprawda