Matematyka.pl

Dany jest trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ T_1}\) o boku \(\displaystyle{ a}\). W ten trójkąt wpisujemy trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ T_2}\) tak, że każdy wierzchołek trójkąta \(\displaystyle{ T_2}\) należy do innego boku trójkąta \(\displaystyle{ T_1}\) i kąt ostry \(\displaystyle{ \alpha}\) między bokami trójkątów \(\displaystyle{ T_1}\) i \(\displaystyle{ T_2}\) wynosi \(\displaystyle{ 30^\circ.}\) W ten trójkąt wpisujemy analogicznie trójkąt \(\displaystyle{ T_3}\), itd. (patrz rysunek). Ile wynosi suma nieskończonego ciągu pól wszystkich utworzonych w ten sposób trójkątów?

Wskazówka: potrafisz znaleźć długość boku \(\displaystyle{ T_2}\) w stosunku do \(\displaystyle{ a}\) ?

\(\displaystyle{ \frac23 a}\) ?

Nie - skorzystaj z własności trójkątów o kątach \(\displaystyle{ 30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}}\).

Nie (to nie jest długość boku trójkąta \(\displaystyle{ T_2}\), tylko długość czegoś innego...).

JK

To zadane jest ładne, bo robi sie je bez żadnych rachunków

Jeżeli przez `t_i` oznaczymy również pole trójkąta `T_i`, to widzimy, że
`t_1=3p+t_2`, gdzie `p` jest polem trójkąta prostokątnego. Jeżeli złożymy dwa takie trójkąty, to dostaniemy trójkąt równoboczny, którego wysokość jest taka sama jak długość boku trójkąta `T_2`. Stosunek pola tego trójkąta do pola trójkąta `T_2` jest taka sama jak kwadrat stosunku boku trójkąta równobocznego do jego wysokości, czyli `4/3`. Innymi słowy `{2p}/t_2=4/3`. Zatem `t_1=3t_2`. I taka sama jest zależność między `t_{n+1}` i `t_n`.