Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X_1,X_2,...,X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie opisanym funkcją gęstości \(\displaystyle{ f_{\theta}(x)=\theta x^{\theta-1}I_{(0,1)}(x),\,\,\theta>0}\).
Jaki rozkład ma zmienna losowa \(\displaystyle{ Y=-2\theta\ln\prod_{k=1}^{n}X_k}\) ?

Zmenna losowa \(\displaystyle{ Y }\) będzie miała rozkład o gęstości równej logarytmowi z iloczynowi gęstości zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_{1}, ... ,X_{n} }\)

\(\displaystyle{ f_{Y}(\theta) = -2\theta \sum_{k=1}^{n} \ln X_{k} = \ \ ... }\)

Przekształciłem zmienną losową do tej postaci którą Ty masz, alw skąd wiemy, że ona będzie miała taki rozkład? Przecież wzór na funkcje gęstości zmiennych losowych napisany wyżej wygląda nieco inaczej?

Bo korzystamy z własności logarytmów

\(\displaystyle{ \ln( X_{1}\cdot ... \cdot X_{n}) = \ln(X_{1}) + ... + \ln(X_{n}). }\)

No dobrze ja to rozumiem, zapisałem już dawno zmienną losową w postaci: \(\displaystyle{ Y=-2\theta\ln\prod_{k=1}^{n}X_k=-2\theta\ln(X_1\cdot X_2\cdot ...\cdot X_n)=-2\theta(\ln X_1+\ln X_2+...+\ln X_n)=-2\theta\sum_{k=1}^{n}\ln X_k}\). I teraz żeby podać jej rozkład trzeba by podać wzór na funkcję gęstości tej zmiennej losowej, moje pytanie było dlaczego Ty postać tej zmiennej losowej traktujesz jako wzór, który opisuje jej gęstość?
Bo u Ciebie jest tak: \(\displaystyle{ f_Y(\theta)=Y}\) i nie wiem o co tutaj chodzi?

Rozkład zmiennej losowej podajemy przez jej gęstość, dystrybuantę lub funkcję tworzącą.

W tym zadaniu najłatwiej jest podać gęstość łączną.

No oczywiście bo zmienna losowa jest typu ciągłego, ale Ty cały czas nie odpowiadasz na moje pytanie...

Jak mam odpowiadać na Twoje pytanie jak posądzasz mnie o bzdury, których nie piszę

\(\displaystyle{ f_{Y}(\theta) = Y ?}\)

Nie można mylić zmiennej losowej z jej gęstością.

No to właśnie tutaj pomyliłeś

janusz47 pisze: ↑7 mar 2024, o 11:21 Zmenna losowa \(\displaystyle{ Y }\) będzie miała rozkład o gęstości równej logarytmowi z iloczynowi gęstości zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_{1}, ... ,X_{n} }\)

\(\displaystyle{ f_{Y}(\theta) = -2\theta \sum_{k=1}^{n} \ln X_{k} = \ \ ... }\)

@a4karo no tak, dlatego właśnie ciągle o tym pisze, że pomylił gęstość ze zmienną losową, a on nie odpowiada na to pytanie...

Podstawiamy w sumie za \(\displaystyle{ X_{k},\ \ k=1,..,n }\) gęstość \(\displaystyle{ f_{\theta}(x)=\theta x^{\theta-1} I_{(0,1)} }\)

Napisałeś wzorek tak, jak napisałeś.
`X_k` to zmienna losowa określona na przestrzeni probabilistycznej, gęstość jest funkcją rzeczywistą. Równości więc być nie może. Jak zwykle, zamiast przyznać że napisałeś coś bez sensu, próbujesz wciskać czytelnikowi, że nie zrozumiał tego, co być może chciałeś przekazać

Gęstość rozkładu łącznego iloczynu niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_{1},...,X_{n} }\) jest równa iloczynowi

\(\displaystyle{ f(x_{1},...,x_{n}) = \prod_{j=1}^{n} f(x_{j}).}\)

i po co ten jak zwykle komentarz z uwagami ?

Ucz się się biedny człowieku rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.

A co ma rozkład łączny do treści zadania?

W przypadku rozkładów ciągłych - iloczyn gęstości niezależnych zmiennych losowych lub iloczyn ich dystrybuant nazywany jest rozkładem łącznym.

W tym zadaniu mamy podaną zmienną losową w postaci logarytmu iloczynu zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie potęgowym więc możemy mówić o logarytmie z ich rozkładu łącznego.