Rozbieżność
\(\displaystyle{ n\sin n}\) widać natychmiast. Wartości
\(\displaystyle{ \sin n}\) gęsto wypełniają
\(\displaystyle{ [-1,1]}\) więc istnieją ciągi
\(\displaystyle{ p_n}\) oraz
\(\displaystyle{ q_n}\) liczb naturalnych dla których
\(\displaystyle{ p_n\sin p_n\to \infty}\) oraz
\(\displaystyle{ q_n\sin q_n\to -\infty}\). Jeśli o
\(\displaystyle{ (\sin n)^n}\) chodzi to oczywiście można znaleźć ciąg
\(\displaystyle{ z_n}\) taki, że
\(\displaystyle{ (\sin z_n)^{z_n}\to 0}\) wystarczy aby przykładowo
\(\displaystyle{ \sin z_n\to 1/2}\) co jak już było wspomniane można uczynić. Jednak z drugiej strony można też znaleźć ciągi
\(\displaystyle{ p_n}\),
\(\displaystyle{ q_n}\) takie, że
\(\displaystyle{ \left| \frac{\pi}{2}- \frac{p_n}{q_n} \right| < \frac{1}{q^2_n} }\)
oraz
\(\displaystyle{ q_n}\) jest nieparzyste (można znaleźć takie ciągi dla każdej niewymiernej liczb tu
\(\displaystyle{ \pi/2}\);
Problems in Mathematical Analysis I: Real Numbers, Sequences and Series, M.T. Nowak W.J. Kaczor, zadanie 1.1.14 lub 1.1.20) lub innymi słowy
\(\displaystyle{ \left| \frac{\pi}{2}q_n- p_n \right| < \frac{1}{q_n}. }\)
Ponieważ w prawostronnej okolicy zera
\(\displaystyle{ \cos }\) maleje to
\(\displaystyle{ \left| \sin p_n \right| = \left| \cos \left( \frac{\pi}{2}q_n- p_n \right) \right| > \cos \frac{1}{q_n} > 1- \frac{1}{2q^2_n}. }\)
Mamy więc dalej
\(\displaystyle{ \left| \sin p_n \right|^{p_n} > \left( 1- \frac{1}{2q^2_n}\right)^{p_n} }\)
a ponieważ,
\(\displaystyle{ p_n \approx \frac{\pi}{2} q_n }\) to
\(\displaystyle{ p_n< 2q^2_n}\) (tu można formalniej to robić ale nie ma takiej konieczności) więc
\(\displaystyle{ \left| \sin p_n \right|^{p_n} > \left( 1- \frac{1}{2q^2_n}\right)^{p_n} > \left( 1- \frac{1}{p_n}\right)^{p_n} }\)
tym samym pokazując, że
\(\displaystyle{ \left| \sin p_n \right|^{p_n} \not\to 0}\). Więc ten ostatni powinien być zbieżny i przydać się może
Kod: Zaznacz cały
https://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html
miara niewymierności
\(\displaystyle{ \pi }\) (a dokładniej jej równoważna definicja opisana w linku).