Strona 1 z 1
Dowód - kwadrat liczby naturalnej
: 8 lut 2024, o 14:09
autor: radi43
Witam, to mój pierwszy post tutaj. Czy ktoś może pomóc/nakierować przy próbie udowodnienia?
Dla dowolnego podzbioru
\(\displaystyle{ A}\) zbioru
\(\displaystyle{ \{1,2,...,50\}}\) zawierającego
\(\displaystyle{ 16}\) elementów zawsze możemy wybrać taki jego podzbiór
\(\displaystyle{ B \subseteq A}\) że iloczyn liczb należących do
\(\displaystyle{ B}\) jest kwadratem liczby naturalnej. Jako przykład podano: jeśli
\(\displaystyle{ A = \left\{2,3,5,12,13,14,21,22 ,23,27,33,35,37,39,47,48\right\}}\) to mamy
\(\displaystyle{ 2\cdot 12\cdot 14\cdot 21=7056}\) czyli
\(\displaystyle{ 84^{2}}\) (czyli szukanym podzbiorem
\(\displaystyle{ B}\) jest tu
\(\displaystyle{ \left\{2, 12, 14, 21 \right\}}\))
Próbuję zdziałać coś z liczbami pierwszymi, ale nie wiem czy na tym można się opierać - w podanym przykładzie liczby które stanowią podzbiór
\(\displaystyle{ B}\) są iloczynem liczb pierwszych. Niestety nie wiem jak to dalej poprowadzić ani nawet jak to inaczej ugryźć
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
: 8 lut 2024, o 15:00
autor: kerajs
Moim zdaniem kontrprzykładem jest jedynka i 15 liczb pierwszych. Tu żaden iloczyn nie jest kwadratem.
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
: 8 lut 2024, o 15:43
autor: Dasio11
Prawdopodobnie przyjmujesz konwencję, że nie można obliczyć iloczynu zbioru jednoelementowego. Prawdopodobnie zaś autorzy zadania przyjmują że można, a wtedy podany zbiór nie jest kontrprzykładem.
Nawiasem mówiąc, ja nie widzę problemu nawet z obliczaniem iloczynu zbioru pustego, który ze wszystkich możliwych przyczyn powinien istnieć i wynosić \(\displaystyle{ 1}\). Ale akurat pod tym względem autorzy zadania zdają się uważać inaczej, bo inaczej zastrzegliby, że \(\displaystyle{ B}\) ma być niepusty.
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
: 8 lut 2024, o 16:12
autor: a4karo
To chyba nie ma nic do rzeczy. Przykład kerajsa jest ok
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
: 8 lut 2024, o 17:06
autor: Jan Kraszewski
Nie jest OK, bo bierzesz \(\displaystyle{ B=\{1\}.}\)
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
: 8 lut 2024, o 18:40
autor: a4karo
Hau, hau (spod stołu)
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
: 9 lut 2024, o 21:45
autor: kerajs
Nadal nie widzę związku skoro chodzi o:
radi43 pisze: ↑8 lut 2024, o 14:09 iloczyn liczb należących do
\(\displaystyle{ B}\)
Zbiory są tu tylko zbytecznym anturażem.
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
: 9 lut 2024, o 22:22
autor: Jan Kraszewski
To znaczy? Twój kontrprzykład nie jest dobry, bo jedynka jest kwadratem liczby naturalnej.
JK
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
: 9 lut 2024, o 23:12
autor: Dasio11
Odnośnie zadania: niech \(\displaystyle{ p_1, \ldots p_{15}}\) będą wszystkimi liczbami pierwszymi w zbiorze \(\displaystyle{ \{ 1, \ldots, 50 \}}\). Dla \(\displaystyle{ a \in A}\) niech
\(\displaystyle{ \beta_a = (\alpha_1 \bmod{2}, \ldots, \alpha_{15} \bmod{2})^{\top} \in (\ZZ_2)^{15}}\),
gdzie \(\displaystyle{ a = p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_{15}^{\alpha_{15}}}\). Ponieważ wymiar \(\displaystyle{ (\ZZ_2)^{15}}\) jako przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \ZZ_2}\) wynosi \(\displaystyle{ 15}\), układ \(\displaystyle{ \left< \beta_a : a \in A \right>}\) jest liniowo zależny, co sprowadza się do istnienia takiego niepustego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq A}\), że \(\displaystyle{ \sum_{b \in B} \beta_b = 0}\). To zaś oznacza, że iloczyn wszystkich liczb w \(\displaystyle{ B}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
: 11 lut 2024, o 10:49
autor: kerajs
Co znaczy
?
PS
Nie wpadłem na to, że dla 4,9 są trzy iloczyny tych liczb, a nie zaledwie jeden.
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
: 11 lut 2024, o 11:24
autor: Jan Kraszewski
Podałeś kontrprzykład, dostałeś kontrprzykład do swojego kontrprzykładu i wtedy napisałeś, że nie widzisz związku. Więc zapytałem się, co to znaczy, bo rzeczony kontrprzykład do kontrprzykładu był w dość bezpośrednim związku...
No ale teraz to i tak bez znaczenia.
JK
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
: 11 lut 2024, o 12:26
autor: kerajs
Jan Kraszewski pisze: ↑11 lut 2024, o 11:24
Podałeś kontrprzykład, dostałeś (,,,)
Rozumiem.
A jak wygląda zapis tych trzech iloczynów z liczb 4 i 9 :
1)
\(\displaystyle{ 4 \cdot 9=36}\)
2)
\(\displaystyle{ \ ? \ =4}\)
3)
\(\displaystyle{ \ ? \ =9}\)
?