Matematyka.pl

Znamy dwie równoważne definicję wymiaru. Nie wiem tylko, czy ta prostsza (jak dla mnie) definicja wymiaru zachodzi dla figur jedno- i zero-wymiarowych. Bowiem (i to w dwóch źródłach) zaczynali tą definicję wymiaru od \(\displaystyle{ n=2}\), wzwyż.
Czy zatem jeśli figurę (np. okrąg- to mi się to tutaj zgadza, ale zachodzi pytanie, czy można podać taką definicję dla dowolnej figury jednowymiarowej) można pokryć dowolnie małymi (o średnicy dążącej do zera) podzbiorami domkniętymi, tak, że każdy punkt tej figury należy do co najwyżej dwóch części, i niektóre punkty będą należeć do dwóch części, to figura ta jest jednowymiarowa I podobne mam pytanie dla figur zero-wymiarowych??

I dzisiaj nasunęły mi się jeszcze takie dwa ciekawe pytania:
Czy jeśli na płaszczyźnie mamy figurę jednowymiarową, tzn. mamy podzbiór płaszczyzny o wymiarze równym jeden (lub też o wymiarze równym zero), to jej pole jest równe zero
I czy jeśli w przestrzeni trójwymiarowej mamy figurę dwuwymiarową (lub też jednowymiarową lub też zerowymiarową), to jej objętość jest równa zero?? Nawiasem mówiąc, gdzie mogę poczytać o figurach mających objętość równą zero, bo spotkałem tylko definicję figur o polu równym zero, a nie wiem np. jak zabrać się do dowodu, że dowolna sfera ma objętość równą zero.

I mam jeszcze jedno pytanie:
Mamy twierdzenie Jordana na płaszczyźnie (dowolna krzywa zamknięta na płaszczyźnie dzieli ją na dwa obszary, i jest ich wspólnym brzegiem). Czy to twierdzenie da się uogólnić na trzy wymiary, tzn.:
Czy dowolna powierzchnia zamknięta w przestrzeni trójwymiarowej dzieli przestrzeń trójwymiarową na dwa obszary, i jest ich wspólnym brzegiem?? Czy ktoś słyszał coś o tym??

Poczytaj sobie o wymiarach w przestrzeniach topologicznych...

Przeczytałem ale coś mi się tutaj nie zgadza, bo przy wytłumaczeniu intuicyjnym (weźmy najlepiej \(\displaystyle{ n=2}\)) była mowa o podzieleniu figury na dowolnie małe podzbiory domknięte, tak aby każdy punkt tej figury należał do co najwyżej trzech części, i tak aby zawsze niektóre punkty należały do trzech części, a tu jest warunek aby: w każde pokrycie otwarte tej figury można było wpisać pokrycie otwarte rzędu \(\displaystyle{ 2}\). Jak zatem przejść tutaj od takich pokryć otwartych do zbiorów domkniętych ( bo pokrycia wpisane nie są mi zbyt dobrze znane)
Może jeszcze przypomnę:
Dla przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\), dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset X,}\) oraz dla pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) zbioru \(\displaystyle{ A,}\) rzędem tego pokrycia na podzbiorze \(\displaystyle{ A}\) nazywamy skończoną (o ile taka istnieje) maksymalną ilość zbiorów (pomniejszoną o jeden) tego pokrycia zawierających (jako element) elementy podzbioru \(\displaystyle{ A}\).
Pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) zbioru \(\displaystyle{ B \subset X}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią topologiczną, nazywamy pokryciem wpisanym w pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) tego samego zbioru \(\displaystyle{ B}\), gdy każdy zbiór wpisanego pokrycia \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) zawiera się w pewnym zbiorze opisanego pokrycia \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\).
Pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) danego zbioru \(\displaystyle{ A \subset X}\) nazywamy otwartym, gdy każdy zbiór tego pokrycia jest zbiorem otwartym.
Czy ktoś potrafi wyjaśnić jak tutaj przejść od takiego pokrycia otwartego do zbiorów domkniętych

Dodano po 3 godzinach 31 minutach 56 sekundach:
Już w miarę to zrozumiałem, doczytałem w Mioduszewskim skrypcie do wykładów z topologii przestrzeni euklidesowych:
Mając dowolnie małą liczbę dodatnią \(\displaystyle{ R>0}\), to z zasady Archimedesa istnieje numer \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\), taki, że \(\displaystyle{ R \cdot n>1}\). A zatem \(\displaystyle{ n}\) takich kwadracików domkniętych przylegających do siebie na brzegach pokryje cały kwadrat. Biorąc:
\(\displaystyle{ R'= R+ \frac{R}{n};}\)
otrzymamy, że \(\displaystyle{ n}\) kwadratów otwartych, zazębiających się na pasach o szerokości \(\displaystyle{ \frac{R}{n},}\) pokryje cały kwadrat, gdzie przyrost \(\displaystyle{ \frac{R}{n}}\) jest dowolnie małą liczbą dodatnią.
A w tym wszystkim chodzi tutaj o to, że kwadrat można pokryć dowolnie małymi kwadracikami otwartymi, tzn. dla dowolnie małej liczby dodatniej \(\displaystyle{ R>0}\) można utworzyć pokrycie całego kwadratu kwadratami otwartymi o średnicy nie większej niż \(\displaystyle{ R}\). Można to, w podobny sposób jak powyżej, pokazać to (choć do końca, to tego nie sprawdzałem, musiałbym tutaj jeszcze tu coś dopracować).
W podobny sposób postępują owady budując sobie schronienie- podobnie tak jak tu braliśmy pokrycie otwarte złożone ze zbiorów otwartych deczko większych od danych zbiorów domkniętych, tak samo owady budują sobie osłony deczko większe od nich samych.

Wymiar przestrzeni topologicznej powinien być zdefiniowany dla przestrzeni, które nawet nie są \(\displaystyle{ T_{0}}\)

Np. przestrzeń, której zbiory otwarte to takie że zawierają jakiś punkt p (wyróżniony) np. na płaszczyźnie punkt \(\displaystyle{ p=(0,0)}\),
dopełnienie każdego zbioru otwartego to cała przestrzeń (cała płaszczyzna) można by przyjąć, że wymiar każdego zbioru niepustego otwartego to jeden,
a wymiar domkniętych nie zawierających punktu \(\displaystyle{ p}\) to zero...

Dzisiejszym wieczorem zaczęło mnie nurtować jaki ma wymiar torus leżący w przestrzeni trójwymiarowej Bo przeczytałem w książce 'Co to jest matematyka' (i zrozumiałem), że krzywa zamknięta narysowana na torusie nie musi wcale podzielić go na dwie części, gdyż dowolne dwa punkty na tym torusie leżące poza tą krzywą można połączyć linią nie przecinającą tej krzywej, a więc do podzielenia torusa pewnie potrzebujemy tutaj powierzchni, skąd wymiar torusa jest większy lub równy \(\displaystyle{ 2+1=3}\); ale wiemy, że każdy podzbiór przestrzeni trójwymiarowej ma wymiar równy co najwyżej trzy, więc torus również, a więc torus ma wymiar równy \(\displaystyle{ 3}\)- dobrze
Przypomnę może jeszcze, że dla dowolnej grubości \(\displaystyle{ r \in \left( 0,2\right) \subset \RR}\) można rozważać torus trójwymiarowy tej grubości \(\displaystyle{ r}\): Na koniec dodam, że wczoraj na dobranoc udowodniłem sobie, że jeśli w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) mamy \(\displaystyle{ n}\) relacji symetrycznych \(\displaystyle{ R_1, R_2, \ldots, R_n}\), to ich różnica symetryczna \(\displaystyle{ R_1\oplus R_2\oplus \ldots\oplus R_n}\) jest relacją symetryczną.
Wiemy, że zachodzi to dla \(\displaystyle{ n=2}\), więc ponieważ operacja różnicy symetrycznej jest operacją łączną, więc pewnie można to udowodnić przez prostą indukcję. Ja udowodniłem to również w inny sposób.
Podajmy najpierw pewien prosty Lemat:
Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, i mamy \(\displaystyle{ n}\) dowolnych relacji \(\displaystyle{ R_1, R_2, \ldots, R_n}\) w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), to relacja odwrotna do różnicy symetrycznej tych relacji jest różnicą symetryczną relacji odwrotnych, tzn. mamy równość:
\(\displaystyle{ \left( R_1\oplus R_2\oplus \ldots \oplus R_n\right) ^{-1}= R _{1} ^{-1} \oplus R _{2} ^{-1}\oplus \ldots \oplus R _{n} ^{-1}.}\)
Wiemy, że zachodzi to dla \(\displaystyle{ n=2}\), więc ten fakt w ogólności można łatwo udowodnić przez prostą indukcję ( przyjmując, że dla dowolnej relacji \(\displaystyle{ R}\), mamy \(\displaystyle{ \oplus \left( R\right)= R}\), tzn. przyjmując, że różnica symetryczna tylko jednej relacji to jest to ta sama relacja). Można to łatwo udowodnić przez indukcję.
Przejdźmy do dowodu naszego faktu (zachowując wprowadzone tam oznaczenia):
DOWÓD TEGO FAKTU:
Na mocy powyższego Lematu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left( R_1\oplus R_2\oplus \ldots \oplus R_n \right) ^{-1}= R _{1} ^{-1}\oplus R _{2} ^{-1} \oplus \ldots \oplus R _{n} ^{-1}.}\)
Teraz: każda relacja \(\displaystyle{ R_i}\) jest symetryczna, więc jest ona równa swojej relacji odwrotnej, a zatem:
\(\displaystyle{ R _{1} ^{-1}= R_1, R _{2} ^{-1} = R_2,\ldots, R _{n} ^{-1}=R_n,}\)
w związku z czym, to nasze całe wyrażenie jest równe:
\(\displaystyle{ =R_1\oplus R_2\oplus\ldots\oplus R_n.}\)
A zatem różnica symetryczna \(\displaystyle{ R_1\oplus R_2\oplus \ldots\oplus R_n}\) jest równa swojej relacji odwrotnej, jest więc relacją symetryczną\(\displaystyle{ .\square}\)

Jakub Gurak pisze: 23 lut 2024, o 22:21 (...)okrąg, w teorii wymiaru, ma wymiar \(\displaystyle{ 1}\), ale okrąg nie zmieści się na prostej- potrzebna jest tutaj dwuwymiarowa płaszczyzna- w takim naiwnym sensie okrąg jest dwuwymiarowy,

A jak go lekko pofałdujesz w kierunku prostopadłym do tej płaszczyzny, to jest nawet trójwymiarowy.

Miała rację twoja pani profesor nazywając cię "nadzwyczajnym" studentem

A jak go lekko pofałdujesz w kierunku prostopadłym do tej płaszczyzny, to jest nawet trójwymiarowy.

Ale trudno go by było pofałdować do czwartego wymiaru ponoć...

Definicja Jakuba mnie nawet przekonuje a mianowicie figura ma wymiar jeden lub mniejszy jeżeli jest podzbiorem prostej...,
Okrąg, który nie jest podzbiorem prostej ma na pewno większy od jeden ale siłą rzeczy mniejszy od dwóch, okrąg pofałdowany przez a4karo siłą rzeczy ma wymiar już większy nić dwa , ale mniejszy niż trzy...to jest wszystko ciekawe...

Więc proponuję pytanie zgodne z def. Jakuba: Jaki wymiar ma krzywa Peana na płaszczyźnie...
I tu okaże się, że intuicja |Jakuba nie zwiodła...

Jakub Gurak pisze: 23 lut 2024, o 22:21 torus ma wymiar równy \(\displaystyle{ 3}\)

Wczoraj w nocy autorzy książki 'Geometria i topologia, Część II, Topologia' uświadomili mi, że jednak nie jest to prawda... \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\) Krzywa \(\displaystyle{ K',}\) na powyższym rysunku, podobnie jak okrąg, ma wymiar równy \(\displaystyle{ 1}\), bo można ją rozciąć dwoma przeciwległymi punktami (a zbiór dwuelementowy ma wymiar równy \(\displaystyle{ 0}\)), a zatem krzywa \(\displaystyle{ K'}\) ma wymiar równy \(\displaystyle{ 0+1=1}\); i ponieważ krzywa \(\displaystyle{ K'}\) rozcina torus, a figury zero-wymiarowe, go nie rozcinają, a krzywa \(\displaystyle{ K'}\) wymiaru \(\displaystyle{ 1}\) już go rozcina, więc torus ma wymiar równy: \(\displaystyle{ 1+1=2}\). Nie wiem jak to, że nie zauważyłem takiej prostej rzeczy...