Przeczytałem
Kod: Zaznacz cały
http://www2.im.uj.edu.pl/LeszekPieniazek/DU/TOP/test-14.html#autosec-548
ale coś mi się tutaj nie zgadza, bo przy wytłumaczeniu intuicyjnym (weźmy najlepiej
\(\displaystyle{ n=2}\)) była mowa o podzieleniu figury na dowolnie małe podzbiory
domknięte, tak aby każdy punkt tej figury należał do co najwyżej trzech części, i tak aby zawsze niektóre punkty należały do trzech części, a tu jest warunek aby: w każde pokrycie
otwarte tej figury można było wpisać pokrycie
otwarte rzędu
\(\displaystyle{ 2}\). Jak zatem przejść tutaj od takich pokryć otwartych do zbiorów domkniętych ( bo pokrycia wpisane nie są mi zbyt dobrze znane)
Może jeszcze przypomnę:
Dla przestrzeni topologicznej
\(\displaystyle{ X}\), dla zbioru
\(\displaystyle{ A \subset X,}\) oraz dla pokrycie
\(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) zbioru
\(\displaystyle{ A,}\) rzędem tego pokrycia na podzbiorze
\(\displaystyle{ A}\) nazywamy skończoną (o ile taka istnieje) maksymalną ilość zbiorów (pomniejszoną o jeden) tego pokrycia zawierających (jako element) elementy podzbioru
\(\displaystyle{ A}\).
Pokrycie
\(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) zbioru
\(\displaystyle{ B \subset X}\), gdzie
\(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią topologiczną, nazywamy pokryciem wpisanym w pokrycie
\(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) tego samego zbioru
\(\displaystyle{ B}\), gdy każdy zbiór wpisanego pokrycia
\(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) zawiera się w pewnym zbiorze opisanego pokrycia
\(\displaystyle{ \mathbb{A}}\).
Pokrycie
\(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) danego zbioru
\(\displaystyle{ A \subset X}\) nazywamy otwartym, gdy każdy zbiór tego pokrycia jest zbiorem otwartym.
Czy ktoś potrafi wyjaśnić jak tutaj przejść od takiego pokrycia otwartego do zbiorów domkniętych
Dodano po 3 godzinach 31 minutach 56 sekundach:
Już w miarę to zrozumiałem, doczytałem w Mioduszewskim skrypcie do wykładów z topologii przestrzeni euklidesowych:
Mając dowolnie małą liczbę dodatnią
\(\displaystyle{ R>0}\), to z zasady Archimedesa istnieje numer
\(\displaystyle{ n \in \NN_+}\), taki, że
\(\displaystyle{ R \cdot n>1}\). A zatem
\(\displaystyle{ n}\) takich kwadracików domkniętych przylegających do siebie na brzegach pokryje cały kwadrat. Biorąc:
\(\displaystyle{ R'= R+ \frac{R}{n};}\)
otrzymamy, że
\(\displaystyle{ n}\) kwadratów otwartych, zazębiających się na pasach o szerokości
\(\displaystyle{ \frac{R}{n},}\) pokryje cały kwadrat, gdzie przyrost
\(\displaystyle{ \frac{R}{n}}\) jest dowolnie małą liczbą dodatnią.
A w tym wszystkim chodzi tutaj o to, że kwadrat można pokryć dowolnie małymi kwadracikami otwartymi, tzn. dla dowolnie małej liczby dodatniej
\(\displaystyle{ R>0}\) można utworzyć pokrycie całego kwadratu kwadratami otwartymi o średnicy nie większej niż
\(\displaystyle{ R}\). Można to, w podobny sposób jak powyżej, pokazać to (choć do końca, to tego nie sprawdzałem, musiałbym tutaj jeszcze tu coś dopracować).
W podobny sposób postępują owady budując sobie schronienie- podobnie tak jak tu braliśmy pokrycie otwarte złożone ze zbiorów otwartych deczko większych od danych zbiorów domkniętych, tak samo owady budują sobie osłony deczko większe od nich samych.
