Matematyka.pl

Czy funkcja \(\displaystyle{ f (x) }\)= odległość \(\displaystyle{ x }\) od najbliższej liczby całkowitej jest Lipschitza ? I jeśli jest to z jaką stałą ?

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest jednoznacznie (a więc poprawnie) zdefiniowana. Nie jest jasne jak zaokrąglać powiedzmy \(\displaystyle{ 1/2}\). Tak czy inaczej skończymy z funkcją która nie jest ciągła więc w szczególności nie jest Lipschitza.

Definicja jest poprawna, bo to nie najbliższa liczba całkowita jest wartością funkcji, tylko odległość argumentu od tejże.

Fakt. Dzięki. Myślałem o liczbie zaokrąglonej a nie odległości. W takim razi \(\displaystyle{ f}\) jest Lipschitza bo wykres to piła. Więc geometrycznie warunek Lipschitza jest spełniony. To znaczy interpretacja Lipschitzowskości się zgadza. A stała to nachylenie prostych czyli \(\displaystyle{ 1}\).

\(\displaystyle{ f(x)=\min\left\{ x-\left\lfloor x \right\rfloor , \left\lceil x \right\rceil -x \right\} }\)

Dla ujemnych analogicznie...