Wielomian a ekstrema
: 15 gru 2023, o 16:58
Wyznaczyć wielomian, który ma tylko w punktach \(\displaystyle{ -1, \ 2}\) ekstrema lokalne właściwe (odpowiednio minimum i maksimum) i ma tylko w zerze punkt przegięcia.
Ukryta treść:
Takich wielomianów jest nieskończenie wiele. Muszą być nieparzystego stopnia. Przykładowy:
\(\displaystyle{ W(x)=12x^5-45x^4+80x^3-480x+k \\
W'(x)=60(x+1)(x-2)(x^2-2x+4)\\
W''(x)=60x(4x^2-9x+8)}\)
Gdyby wielomian \(\displaystyle{ w}\) był stopnia trzeciego, to z \(\displaystyle{ w'=a(x+1)(x-2)}\) nie uzyska się \(\displaystyle{ w''(0)=0}\)
Przyjąłem, że wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) stopnia piątego ma \(\displaystyle{ Q'(x)=(x+1)(x-2)(x^2 -\frac{q}{2}x+q ) \ \ \ dla \ \ 0<q<16}\) , a jego druga pochodna tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. Tak będzie gdy \(\displaystyle{ q \in \left( \frac{2(13-4 \sqrt{6} )}{3 } \ , \ \frac{2(13+4 \sqrt{6} ) }{3 } \right) }\) i stąd powyższy przykład dla \(\displaystyle{ q=4}\).