Matematyka.pl

Wykazać, że wielomian \(\displaystyle{ 20x^5+10x^4+15x^3-9x^2+3x-3}\) nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego niż \(\displaystyle{ 5}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

być może chodzi o rozkład z wielomianami o wymiernych współczynnikach ? ; wielomian stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty....

max123321 pisze: 2 wrz 2023, o 00:30 Wykazać, że wielomian \(\displaystyle{ 20x^5+10x^4+15x^3-9x^2+3x-3}\) nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego niż \(\displaystyle{ 5}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Już tyle wiesz, że fałszywość takiej tezy powinieneś zauważyć natychmiast

Natychmiast? No to chyba nie widzę. Proszę o jakąś wskazówkę.

No to pomyśl. To jest wielomian nieparzystego stopnia (co nie jest niezbędne, ale ułatwia sprawę).

JK

No ok, to znaczy, że ma co najmniej jeden pierwiastek, ale co z tego?

Znasz jakieś twierdzenia o wielomianach, czy czytasz tylko zbiory zadań?

No znam, na przykład twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu, albo twierdzenie Bezout.

No i co Ci mówi twierdzenie Bezouta?

JK

Twierdzenie Bezouta mówi, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ (x-a)}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu.

No dobra, ale jak to tu zastosować. Jedyne co wiem, to, że ten dany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Ok niech będzie to \(\displaystyle{ p}\). Czyli wyjściowy wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-p)}\). No ok, ale co z tego? Czyli teraz pewnie bym chciał pokazać, że nie istnieje wielomian czwartego stopnia \(\displaystyle{ Q(x)}\) taki, że \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-p)}\). No, ale nie wiem jak to zrobić.

max123321 pisze: 3 wrz 2023, o 01:57No dobra, ale jak to tu zastosować. Jedyne co wiem, to, że ten dany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Ok niech będzie to \(\displaystyle{ p}\). Czyli wyjściowy wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-p)}\). No ok, ale co z tego?

Naprawdę musisz mieć podpowiedź na każdym kroku? A co to (z definicji) znaczy, że wyjściowy wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-p)}\)?

max123321 pisze: 3 wrz 2023, o 01:57Czyli teraz pewnie bym chciał pokazać, że nie istnieje wielomian czwartego stopnia \(\displaystyle{ Q(x)}\) taki, że \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-p)}\).

Serio?! Pomyśl trochę.

JK

Nie no chyba się poddam tutaj. Nie wiem o co Wam chodzi. Pewnie jest to jakaś prosta rzecz, ale ja jak zwykle nie widzę.

Jan Kraszewski pisze: 3 wrz 2023, o 02:17 A co to (z definicji) znaczy, że wyjściowy wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-p)}\)?

JK

No to znaczy, że \(\displaystyle{ p}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu czyli \(\displaystyle{ W(p)=0}\)... Innymi słowy istnieje wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) taki, że \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-p)}\).

max123321 pisze: 3 wrz 2023, o 23:11Innymi słowy istnieje wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) taki, że \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-p)}\).

No świetnie. A jaki jest stopień wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) ?

JK

No stopień wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest równy \(\displaystyle{ 4}\).

No i co z tego wynika?

O ile jeszcze pamiętasz, co tak w ogóle uzasadniasz...

JK