Wykazać, że wielomian nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego

[max123321]

Wykazać, że wielomian \(\displaystyle{ 20x^5+10x^4+15x^3-9x^2+3x-3}\) nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego niż \(\displaystyle{ 5}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

[mol_ksiazkowy]

być może chodzi o rozkład z wielomianami o wymiernych współczynnikach ? ; wielomian stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty....

[a4karo]

Wykazać, że wielomian \(\displaystyle{ 20x^5+10x^4+15x^3-9x^2+3x-3}\) nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego niż \(\displaystyle{ 5}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Już tyle wiesz, że fałszywość takiej tezy powinieneś zauważyć natychmiast

[max123321]

Natychmiast? No to chyba nie widzę. Proszę o jakąś wskazówkę.

[Jan Kraszewski]

No to pomyśl. To jest wielomian nieparzystego stopnia (co nie jest niezbędne, ale ułatwia sprawę).

JK

[max123321]

No ok, to znaczy, że ma co najmniej jeden pierwiastek, ale co z tego?

[a4karo]

Znasz jakieś twierdzenia o wielomianach, czy czytasz tylko zbiory zadań?

[max123321]

No znam, na przykład twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu, albo twierdzenie Bezout.

[Jan Kraszewski]

No i co Ci mówi twierdzenie Bezouta?

JK

[max123321]

Twierdzenie Bezouta mówi, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ (x-a)}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu.

No dobra, ale jak to tu zastosować. Jedyne co wiem, to, że ten dany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Ok niech będzie to \(\displaystyle{ p}\). Czyli wyjściowy wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-p)}\). No ok, ale co z tego? Czyli teraz pewnie bym chciał pokazać, że nie istnieje wielomian czwartego stopnia \(\displaystyle{ Q(x)}\) taki, że \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-p)}\). No, ale nie wiem jak to zrobić.

[Jan Kraszewski]

No dobra, ale jak to tu zastosować. Jedyne co wiem, to, że ten dany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Ok niech będzie to \(\displaystyle{ p}\). Czyli wyjściowy wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-p)}\). No ok, ale co z tego?

Naprawdę musisz mieć podpowiedź na każdym kroku? A co to (z definicji) znaczy, że wyjściowy wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-p)}\)?

Czyli teraz pewnie bym chciał pokazać, że nie istnieje wielomian czwartego stopnia \(\displaystyle{ Q(x)}\) taki, że \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-p)}\).

Serio?! Pomyśl trochę.

JK

[max123321]

Nie no chyba się poddam tutaj. Nie wiem o co Wam chodzi. Pewnie jest to jakaś prosta rzecz, ale ja jak zwykle nie widzę.

A co to (z definicji) znaczy, że wyjściowy wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-p)}\)?

JK

No to znaczy, że \(\displaystyle{ p}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu czyli \(\displaystyle{ W(p)=0}\)... Innymi słowy istnieje wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) taki, że \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-p)}\).

[Jan Kraszewski]

Innymi słowy istnieje wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) taki, że \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-p)}\).

No świetnie. A jaki jest stopień wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) ?

JK

[max123321]

No stopień wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest równy \(\displaystyle{ 4}\).

[Jan Kraszewski]

No i co z tego wynika?

O ile jeszcze pamiętasz, co tak w ogóle uzasadniasz...

JK