Matematyka.pl

Dowieść, że jeżeli \(\displaystyle{ x_0<x_1<x_2<...<x_n}\) i \(\displaystyle{ w_0,w_1,...,w_n}\) są liczbami rzeczywistymi, to istnieje dokładnie jeden wielomian \(\displaystyle{ f}\) stopnia \(\displaystyle{ \le n}\), taki, że \(\displaystyle{ f(x_0)=w_0,f(x_1)=w_1,...,f(x_n)=w_n}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Nie wprost: niech \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są takie, to \(\displaystyle{ f-g }\) ma co najmniej \(\displaystyle{ n+1}\) pierwiastków (\(\displaystyle{ x_0}\),...\(\displaystyle{ x_n}\)) i jest stopnia \(\displaystyle{ \leq n}\) ...

Ok, więc nie mogą istnieć dwa lub więcej takich wielomianów, bo jeśli istnieją dwa to istnieją trzy, a zatem cztery i tak dalej. Zgadza się?
Ok, a jak wykazać, że istnieje więcej niż zero takich wielomianów? Bo może taki wielomian w ogóle nie istnieje?

max123321 pisze: 28 sie 2023, o 23:21 Ok, więc nie mogą istnieć dwa lub więcej takich wielomianów, bo jeśli istnieją dwa to istnieją trzy, a zatem cztery i tak dalej. Zgadza się?

Nie. Nie mogą istnieć dwa, zatem nie mogą istnieć trzy, bo gdyby istniały trzy (cztery i tak dalej), to istniałyby dwa.

JK

Znaczy tak racja, o to mi chodziło. Chyba już późna pora dla mnie.

A jak wykazać, że istnieje w ogóle taki wielomian, w sensie, że istnieje więcej niż zero takich wielomianów?

Interpolacja Lagrange’a