Matematyka.pl

Sześć żab siedzi w wierzchołkach sześciokąta foremnego, jedna żaba w każdym wierzchołku. Żaby mogą przeskakiwać nad innymi. Jeżeli
żaba przeskakuje z punktu \(\displaystyle{ F}\) nad żabą znajdującą się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), to ląduje w punkcie \(\displaystyle{ F_0}\) takim, że punkty \(\displaystyle{ F, P , F_0}\) są na jednej prostej w takiej właśnie kolejności, a ponadto \(\displaystyle{ F_0P = 2FP}\). Czy możliwe jest, aby pewna żaba znalazła się w środku sześciokąta

mol_ksiazkowy pisze: 26 sie 2023, o 22:02 Jeżeli żaba przeskakuje z punktu \(\displaystyle{ F}\) nad żabą znajdującą się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), to ląduje w punkcie \(\displaystyle{ F_0}\) takim, że punkty \(\displaystyle{ F, P , F_0}\) są na jednej prostej w takiej właśnie kolejności, a ponadto \(\displaystyle{ F_0P = 2FP}\).

Czy dobrze przepisana jest treść
Nie miało być \(\displaystyle{ FF_0= 2FP}\)?? - czyli tak, aby żaba, przeskakując nad inną żabą, przeskoczyła symetrycznie dwukrotność odległości tych żab?? Czy dobrze przepisałeś treść tego zadania - moja wersja wygląda bardziej naturalnie...

Wydaje się, iż nie ma tu błędu... można więc rozwiązać zadanie także i w tej wersji.

Jakub Gurak pisze: 27 sie 2023, o 15:59Nie miało być \(\displaystyle{ FF_0= 2FP}\)?? - czyli tak, aby żaba, przeskakując nad inną żabą, przeskoczyła symetrycznie dwukrotność odległości tych żab?? Czy dobrze przepisałeś treść tego zadania - moja wersja wygląda bardziej naturalnie...

Dlaczego wylądowanie w tej samej odległości ma być bardziej naturalne od wylądowania dwa razy dalej?

JK

Podam rozwiązanie zadania w wersji oryginalnej. Odpowiedź jest negatywna.
Dowód:
Możemy założyć, że nasz sześciokąt foremny leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), ma środek w punkcie \(\displaystyle{ O=(0,0)}\) oraz wierzchołek w punkcie \(\displaystyle{ (2,0)}\). Gdy żaba z punktu \(\displaystyle{ F}\) skacze ponad żabą w punkcie \(\displaystyle{ P}\) do punktu \(\displaystyle{ F_0}\), to
(*) \(\displaystyle{ F_0= F + 3(P-F)}\).
Patrzymy na pierwsze współrzędne punktów, w których mogą znajdować się żaby (po jakiejś liczbie skoków). Początkowo są to liczby \(\displaystyle{ -2, -1, 1,2}\). Łatwa indukcja pokazuje, że zawsze te pierwsze współrzędne będą liczbami całkowitymi.
Ponadto na mocy (*), pierwsze współrzędne punktów \(\displaystyle{ F_0}\) i \(\displaystyle{ F}\) dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\).
Skoro w początkowym ustawieniu żab żadna z tych reszt nie jesr równa zero, to nigdy nie będzie tak, że pierwsza współrzędna pozycji żaby będzie podzielna przez zero. Dlatego nigdy żadna z żab nie skoczy do środka sześciokąta.
Można powiedzieć, że to jest zadanie z algebry liniowej...

W wersji Jakuba Guraka odpowiedź też jest negatywna.

A czy wszystkie wierzchołki mają współrzędne całkowite? Przecież żaba z `(2,0)` może przeskoczyć punkt `(\sqrt3,1)`.

Nie \(\displaystyle{ (\sqrt{3},1)}\), lecz \(\displaystyle{ (1,\sqrt{3})}\).

Ano fakt.

Wersja pana Mola:
Liniuję całą płaszczyznę tak, że kolejnymi liniami są: prosta zawierająca bok sześciokąta, prosta przechodząca przez jego środek i prosta zawierająca drugi bok sześciokąta. Proste koloruję trzema barwami tak , że co trzecia jest w tym samym kolorze.
Skoro żaby skaczą tylko na punkty linii w tym samym kolorze co linia z której skaczą, to szansę na wskoczenie na środek sześciokąta mają tylko dwie żaby z prostej przez ten środek przechodzącej.
Jednak gdyby liniować prostymi równoległymi zawierającymi inne boki sześciokąta i analogicznie kolorować, to wyznaczone wcześniej dwie żaby nie będą siedziały na prostych o kolorze lini przechodzącej przez środek sześciokąta, więc nie nie mają szans na wskoczenie do środka sześciokąta, niezależnie od liczby skoków.
Ergo, odpowiedź jest negatywna.

Wersja Jakuba Guraka:
Liniuję całą płaszczyznę tak, że kolejnymi liniami są: prosta zawierająca bok sześciokąta, prosta przechodząca przez jego środek i prosta zawierająca drugi bok sześciokąta. Co drugą prostą maluję na czerwono.
Skoro żaby skaczą tylko na punkty linii w tym samym kolorze co linia z której skaczą, to szansę na wskoczenie na środek sześciokąta mają tylko dwie żaby z prostej przez ten środek przechodzącej.
Jednak gdyby liniować prostymi równoległymi zawierającymi inne boki sześciokąta, to wyznaczone wcześniej dwie żaby nie będą siedziały na prostych o kolorze lini przechodzącej przez środek sześciokąta, więc nie nie mają szans na wskoczenie do środka sześciokąta, niezależnie od liczby skoków.
Ergo, odpowiedź jest negatywna.

krl pisze: 27 sie 2023, o 19:43 Podam rozwiązanie zadania w wersji oryginalnej.
Dowód:
Możemy założyć, że nasz sześciokąt foremny leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), ma środek w punkcie \(\displaystyle{ O=(0,0)}\) oraz wierzchołek w punkcie \(\displaystyle{ (2,0)}\). Gdy żaba z punktu \(\displaystyle{ F}\) skacze ponad żabą w punkcie \(\displaystyle{ P}\) do punktu \(\displaystyle{ F_0}\), to
(*) \(\displaystyle{ F_0= F + 3(P-F)}\).
Patrzymy na pierwsze współrzędne punktów, w których mogą znajdować się żaby (po jakiejś liczbie skoków). Początkowo są to liczby \(\displaystyle{ -2, -1, 1,2}\). Łatwa indukcja pokazuje, że zawsze te pierwsze współrzędne będą liczbami całkowitymi.
Ponadto na mocy (*), pierwsze współrzędne punktów \(\displaystyle{ F_0}\) i \(\displaystyle{ F}\) dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\).
Skoro w początkowym ustawieniu żab żadna z tych reszt nie jesr równa zero, to nigdy nie będzie tak, że pierwsza współrzędna pozycji żaby będzie podzielna przez zero. Dlatego nigdy żadna z żab nie skoczy do środka sześciokąta.

krl pisze:W wersji Jakuba Guraka odpowiedź też jest negatywna.

krl- mogę prosić o wskazówkę co do tego
Próbowałem dzisiaj zrobić to analogicznie (to zadanie rok temu jakoś zostawiłem sobie na później i dzisiaj do niego wróciłem), ale nijak tego nie widzę...

Jakub Gurak pisze: 30 paź 2024, o 22:26mogę prosić o wskazówkę co do tego

Przekształć płaszczyznę funkcją liniową, która odwzoruje wierzchołki sześciokąta na punkty \(\displaystyle{ \binom{1}{0}}\), \(\displaystyle{ \binom{1}{1}}\), \(\displaystyle{ \binom{0}{1}}\) i do nich przeciwne, i szukaj niezmienników.

A czy jest możliwym, że jakaś żaba wskoczy kiedyś na inną ..?

Znowu nie miałem czasu na to zadanie... Ale ( ) -pamiętam.

mol_ksiazkowy pisze: 2 lis 2024, o 11:29 A czy jest możliwym, że jakaś żaba wskoczy kiedyś na inną ..?

Takie są heca, że tak:\(\displaystyle{ \\}\) Ale to nie szkodzi...

Dasio11 pisze: 31 paź 2024, o 19:55 punkty \(\displaystyle{ \binom{1}{0}}\), \(\displaystyle{ \binom{1}{1}}\), \(\displaystyle{ \binom{0}{1}}\)

Nie wiem co to za punkty, bo jakiś dziwny jest to zapis...

Pomocy...

Dasio11 pisze: 9 gru 2024, o 18:58Pomocy...

Pomagam...

Jakub Gurak pisze: 8 gru 2024, o 19:15

Dasio11 pisze: 31 paź 2024, o 19:55 punkty \(\displaystyle{ \binom{1}{0}}\), \(\displaystyle{ \binom{1}{1}}\), \(\displaystyle{ \binom{0}{1}}\)

Nie wiem co to za punkty, bo jakiś dziwny jest to zapis...

To typowy w algebrze liniowej zapis punktów na płaszczyźnie.

JK