Matematyka.pl

Dowieść, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Załóżmy przeciwnie, że liczb pierwszych jest skończenie wiele dajmy na to \(\displaystyle{ n}\). Oznaczmy te liczby pierwsze następująco \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3,...,p_n}\). Utwórzmy liczbę \(\displaystyle{ p_1p_2p_3...p_n+1}\) i zobaczmy, że jest to liczba naturalna, niepodzielna przez żadną z liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_k}\), dla \(\displaystyle{ 1\le k \le n}\) bo przy dzieleniu przez dowolną z tych liczb pierwszych zawsze otrzymamy resztę \(\displaystyle{ 1}\), a zatem jest to liczba pierwsza inna od tego zestawu \(\displaystyle{ n}\) liczb pierwszych, który zakładaliśmy w związku z czym mamy sprzeczność czyli liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Czy tak jest dobrze?

Dobrze (dopisałbym, że ta liczba pierwsza jest inna od każdej liczby z tego zbioru wszystkch liczb pierwszych- sprzeczność); poza tym jest (bardzo) dobrze.

max123321 pisze: ↑16 sie 2023, o 20:48a zatem jest to liczba pierwsza

Dlaczego?

\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1 = 30031 = 59 \cdot 509}\)

Dasio11 pisze: ↑17 sie 2023, o 09:39

max123321 pisze: ↑16 sie 2023, o 20:48a zatem jest to liczba pierwsza

Dlaczego?

No bo ta liczba nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą, więc może być podzielna tylko przez jeden i samą siebie. Może być takie uzasadnienie?

A jak z faktu, że nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą, wynika, że może być podzielna tylko przez jeden i samą siebie?

Liczba \(\displaystyle{ p _{1}p _{2}p _{3} ... p _{n} +1 }\) Jest liczbą pierwszą lub złożoną z iloczynu czynników pierwszych nie należących do założonego zbioru liczb pierwszych. Czyli zawsze pojawią się dodatkowe liczby pierwsze spoza założonego zbioru.

Dasio11 pisze: ↑18 sie 2023, o 10:03 A jak z faktu, że nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą, wynika, że może być podzielna tylko przez jeden i samą siebie?

To chyba wynika z jednoznaczności rozkładu dowolnej liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Po prostu każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci iloczynu pewnych potęg liczb pierwszych, więc jeżeli w tym rozkładzie nie ma żadnej liczby pierwszej, to sama ta liczba musi być pierwsza, bo jakby była złożona to byłaby podzielna przez więcej niż jedną liczbę pierwszą. Dobrze mówię? Popraw mnie jakby co.

Definicja pierwszości to podzielność jedynie przez siebie i \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ 12}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 6}\) a nie jest to liczba pierwsza.

No, ale \(\displaystyle{ 6}\) nie jest liczbą pierwszą. \(\displaystyle{ 12}\) ma rozkład \(\displaystyle{ 12=2^2 \cdot 3}\), tu w rozkładzie jest iloczyn więcej niż jednej liczby pierwszej zatem nie jest to liczba pierwsza. Można jeszcze by powiedzieć inaczej: Nie istnieje liczba złożona, która byłaby podzielna przez liczbę złożoną, a nie byłaby podzielna przez liczbę pierwszą.

• Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele bo, gdyby było ich skończenie wiele to szereg \(\displaystyle{ \sum_{p-\text{pierwsze}}^{} \frac{1}{p} }\) byłby zbieżny. A nie jest.

• Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele bo, gdyby było ich skończenie wiele to wyrażanie \(\displaystyle{ \prod _{p-\text{pierwsze}}{\frac {1}{1-p^{-2}}} }\) byłoby wymierne. A nie jest bo \(\displaystyle{ \prod _{p-\text{pierwsze}}{\frac {1}{1-p^{-2}}} = \sum_{n}^{} \frac{1}{n^2} = \frac{ \pi ^2}{6} }\).

Założmy przeciwnie że istnieje tylko skończona liczba liczb pierwszych, tj. \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) są wszystkimi liczbami pierwszymi.

Teraz rozważmy liczbę \(N = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n + 1\). Ta liczba nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych \(p_1, p_2, \ldots, p_n\), ponieważ reszta z dzielenia \(N\) przez dowolną z nich byłaby równa \(1\). Oznacza to, że \(N\) nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą z naszego założonego skończonego zbioru.

Jednakże istnieją dwie opcje:

1. Liczba \(N\) jest liczbą pierwszą.
2. Liczba \(N\) nie jest liczbą pierwszą i ma dzielnik większy niż \(1\) i większy niż \(p_1, p_2, \ldots, p_n\).

W obu przypadkach dochodzimy do sprzeczności z założeniem, że \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) są wszystkimi liczbami pierwszymi. W przypadku 1 pojawia się nowa liczba pierwsza, a w przypadku 2, pojawia się nowy dzielnik pierwszy, który nie jest w naszym pierwotnym zbiorze.

Ponieważ w obu przypadkach dochodzimy do sprzeczności, nasze założenie, że istnieje tylko skończona liczba liczb pierwszych, musi być błędne \(\displaystyle{ \blacksquare}\)

Czy mogę jeszcze dopytać się tutaj o coś, jak już jesteśmy tutaj dogłębni??

Dynia5 pisze: ↑18 sie 2023, o 20:37 Jednakże istnieją dwie opcje:

1. Liczba \(\displaystyle{ N}\) jest liczbą pierwszą.
2. Liczba \(\displaystyle{ N}\) nie jest liczbą pierwszą i ma dzielnik większy niż \(\displaystyle{ 1}\) i większy niż \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_n.}\)

W obu przypadkach dochodzimy do sprzeczności z założeniem, że \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_n}\) są wszystkimi liczbami pierwszymi. W przypadku 1 pojawia się nowa liczba pierwsza, a w przypadku 2, pojawia się nowy dzielnik pierwszy, który nie jest w naszym pierwotnym zbiorze.

Ponieważ w obu przypadkach dochodzimy do sprzeczności, nasze założenie, że istnieje tylko skończona liczba liczb pierwszych, musi być błędne \(\displaystyle{ \blacksquare}\)

W drugim przypadku, jasne jest, że pojawi się nowy dzielnik, i to różny od liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_n}\) ; ale dlaczego musi on być pierwszy Wszak dzielniki liczby naturalnej nie muszą być liczbami pierwszymi, np. \(\displaystyle{ 4|12}\), a \(\displaystyle{ 4}\) nie jest liczbą pierwszą. Ten moment jest tutaj jeszcze dla mnie troszkę niejasny. Jak dojść do sprzeczności

Jeżeli chcemy doprowadzić do sprzeczności, to najpierw musimy wiedzieć jakim zestawem faktów dysponujemy.
Jeżeli na przykład mamy do dyspozycji twierdzenie, że każda liczba naturalna większa od jedynki jest albo pierwsza albo ma dzielnik pierwszy, to sprzeczność można uzyskać tak: liczba `p_1...p_n+1` nie jest pierwsza, bo jest różna (większa) od każdej liczby pierwszej, ani nie ma dzielnika pierwszego z oczywistych względów

a4karo dzięki, że mnie wyręczyłeś