Matematyka.pl

cześć,
proszę o pomoc z obliczeniem jak w temacie:
\(\displaystyle{ \sum_{r=1}^{ \infty } \frac{2r}{(r+1)!} }\)

Hint:

dzięki! mogę prosić jakieś wyprowadzenie tego/ dowód?

SemastianM pisze: 16 lip 2023, o 11:27 mogę prosić jakieś wyprowadzenie tego/ dowód?

Przecież tam jest całe wyprowadzenie. Którego fragmentu nie rozumiesz?

JK

\(\displaystyle{ \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r+1 -1}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r+1}{(r+1)!} - 2 \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{r!} - 2 \sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{(r+1)!} = 2(e-1)-2(e-2)= 2. }\)

gdzie \(\displaystyle{ e = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{1}{r!}.}\)

Jan Kraszewski pisze: 16 lip 2023, o 12:31

SemastianM pisze: 16 lip 2023, o 11:27 mogę prosić jakieś wyprowadzenie tego/ dowód?

Przecież tam jest całe wyprowadzenie. Którego fragmentu nie rozumiesz?

JK

Chodziło mi p coś takiego jak zrobił janusz47

Dodano po 25 sekundach:

janusz47 pisze: 16 lip 2023, o 17:28\(\displaystyle{ \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r+1 -1}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r+1}{(r+1)!} - 2 \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{r!} - 2 \sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{(r+1)!} = 2(e-1)-2(e-2)= 2. }\)

gdzie \(\displaystyle{ e = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{1}{r!}.}\)

O super! Dziękuje bardzo

I znów janusz47 zwolnił kogoś z konieczności pomyślenia...

JK

Jan Kraszewski pisze: 16 lip 2023, o 19:59 I znów janusz47 zwolnił kogoś z konieczności pomyślenia...

JK

Nie zwolnił, tylko zamieszał. Żeby móc wykonywać takie przekształcenia, trzeba najpierw przynajmniej wspomnieć dlaczego wolno to robić.

Jak nie wiesz dlaczego wykonuje się takie przekształcenia i nie znasz własność dddytywności sumy, to poczytaj sobie na przykład w miłej książce Konrada Knoppa. Szeregi Nieskończone.

Ja wiem. I dlatego mam pretensje, że nie napisałeś uzasadnień. Może tego nie wiesz, ale z addytywnoscia w nieskończonych szeregach różne cuda można pokazać