suma nieskończona szeregu z silnią w mianowniku

[SemastianM]

cześć,
proszę o pomoc z obliczeniem jak w temacie:
\(\displaystyle{ \sum_{r=1}^{ \infty } \frac{2r}{(r+1)!} }\)

[Janusz Tracz]

Hint:

\(\displaystyle{
\begin{split}
\sum_{r=1}^{N } \frac{r}{(r+1)!} & = \sum_{r=1}^{ N } \left( \frac{1}{r!} - \frac{1}{(r+1)!} \right) \\
& = 1 - \frac{1}{(N+1)!} \to 1.
\end{split}
}\)

[SemastianM]

dzięki! mogę prosić jakieś wyprowadzenie tego/ dowód?

[Jan Kraszewski]

mogę prosić jakieś wyprowadzenie tego/ dowód?

Przecież tam jest całe wyprowadzenie. Którego fragmentu nie rozumiesz?

JK

[janusz47]

\(\displaystyle{ \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r+1 -1}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r+1}{(r+1)!} - 2 \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{r!} - 2 \sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{(r+1)!} = 2(e-1)-2(e-2)= 2. }\)

gdzie \(\displaystyle{ e = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{1}{r!}.}\)

[SemastianM]

mogę prosić jakieś wyprowadzenie tego/ dowód?

Przecież tam jest całe wyprowadzenie. Którego fragmentu nie rozumiesz?

JK

Chodziło mi p coś takiego jak zrobił janusz47

Dodano po 25 sekundach:

\(\displaystyle{ \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r+1 -1}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r+1}{(r+1)!} - 2 \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{r!} - 2 \sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{(r+1)!} = 2(e-1)-2(e-2)= 2. }\)

gdzie \(\displaystyle{ e = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{1}{r!}.}\)

O super! Dziękuje bardzo

[Jan Kraszewski]

I znów janusz47 zwolnił kogoś z konieczności pomyślenia...

JK

[a4karo]

I znów janusz47 zwolnił kogoś z konieczności pomyślenia...

JK

Nie zwolnił, tylko zamieszał. Żeby móc wykonywać takie przekształcenia, trzeba najpierw przynajmniej wspomnieć dlaczego wolno to robić.

[janusz47]

Jak nie wiesz dlaczego wykonuje się takie przekształcenia i nie znasz własność dddytywności sumy, to poczytaj sobie na przykład w miłej książce Konrada Knoppa. Szeregi Nieskończone.

[a4karo]

Ja wiem. I dlatego mam pretensje, że nie napisałeś uzasadnień. Może tego nie wiesz, ale z addytywnoscia w nieskończonych szeregach różne cuda można pokazać