Strona 1 z 1
min max
: 9 cze 2023, o 17:48
autor: mol_ksiazkowy
Rozwiązać równanie funkcyjne:
\(\displaystyle{ f(x+y) = \max \{f(x), y \} + \min \{ f(y), x \},}\)
gdy \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)
Re: min max
: 9 sie 2023, o 18:27
autor: Jakub Gurak
Niewątpliwie funkcja identyczności:
\(\displaystyle{ f=I_{\RR}:\RR \rightarrow \RR}\),
spełnia to zadanie, gdyż dla dowolnych liczb
\(\displaystyle{ x,y \in \RR,}\) mamy:
\(\displaystyle{ f\left( x+y\right) = x+y= \max \left( f\left( x\right)=x, y \right) + \min\left( f(y)=y ,x\right) = \max \left(x,y\right) + \min \left( y,x\right) = x+y.}\)
Spróbuję uzasadnić, że nie ma innych takich funkcji (spróbuję zacząć):
Dla dowolnej liczby
\(\displaystyle{ x \in \RR}\), oraz dla tej samej liczby
\(\displaystyle{ y=x}\), mamy:
\(\displaystyle{ f\left( 2x\right) = \max \left( f(x), x\right)+ \min \left( f(x), x\right) = f(x)+x;}\)
skąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= f\left( 2x\right)-x;}\)
i podejrzewam, że tylko funkcja identyczności
\(\displaystyle{ I _{\RR}: \RR \rightarrow \RR}\), to spełnia, ale nie wiem jak to udowodnić.
Ktoś może pomóc
Re: min max
: 18 lis 2023, o 14:48
autor: mol_ksiazkowy
a
\(\displaystyle{ f(x)=x+1 }\)
Re: min max
: 24 lis 2023, o 16:07
autor: Jakub Gurak
No nie, gdyż dla dowolnej liczby
\(\displaystyle{ x \in \RR}\) (np. dla
\(\displaystyle{ x=0}\)), oraz dla
\(\displaystyle{ y=x+1}\), mamy:
\(\displaystyle{ \max\left( x+1,y\right) = \max\left( x+1, x+1\right) = x+1}\), i
\(\displaystyle{ \min\left( y+1,x\right) = \min \left( x+2, x\right)= x}\);
lecz:
\(\displaystyle{ f\left( x+y\right) = f\left( 2x+1\right) = 2x+2 \neq \left( x+1\right) +x= \max\left( x+1,y\right) + \min \left( y+1,x\right) .}\)
Re: min max
: 24 lis 2023, o 18:23
autor: arek1357
A jak napiszę:
\(\displaystyle{ \min\left\{ x,f(y)\right\} = \frac{x+f(y)-|x-f(y)|}{2} }\)
\(\displaystyle{ \max\left\{ y,f(x)\right\} = \frac{x+f(y)+|y-f(x)|}{2} }\)
To może to ci ułatwi zadanie...
Podstawiając i upraszczając otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ f(x)-|f(x)|=x+a-|x-a| , a=f(0)}\)
Re: min max
: 24 lis 2023, o 18:34
autor: Jan Kraszewski
arek1357 pisze: ↑24 lis 2023, o 18:23
\(\displaystyle{ \max\left\{ y,f(x)\right\} = \frac{\red{x+f(y)}+|y-f(x)|}{2} }\)
A nie miałeś na myśli
\(\displaystyle{ \max\left\{ y,f(x)\right\} = \frac{y+f(x)+|y-f(x)|}{2} }\) ?
JK
Re: min max
: 24 lis 2023, o 18:36
autor: arek1357
Oj tak dokładnie
Ale myślę że teraz Jakub sobie poradzi bez względu na ten chohlik...
Tym bardziej, że końcówka już jest poprawna...