Rozwiązać równanie funkcyjne:
\(\displaystyle{ f(x+y) = \max \{f(x), y \} + \min \{ f(y), x \},}\)
gdy \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)
min max
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11583
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy
min max
Ostatnio zmieniony 9 cze 2023, o 18:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: min max
Niewątpliwie funkcja identyczności:
\(\displaystyle{ f=I_{\RR}:\RR \rightarrow \RR}\),
spełnia to zadanie, gdyż dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ x,y \in \RR,}\) mamy:
\(\displaystyle{ f\left( x+y\right) = x+y= \max \left( f\left( x\right)=x, y \right) + \min\left( f(y)=y ,x\right) = \max \left(x,y\right) + \min \left( y,x\right) = x+y.}\)
Spróbuję uzasadnić, że nie ma innych takich funkcji (spróbuję zacząć):
Dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ x \in \RR}\), oraz dla tej samej liczby \(\displaystyle{ y=x}\), mamy:
\(\displaystyle{ f\left( 2x\right) = \max \left( f(x), x\right)+ \min \left( f(x), x\right) = f(x)+x;}\)
skąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= f\left( 2x\right)-x;}\)
i podejrzewam, że tylko funkcja identyczności \(\displaystyle{ I _{\RR}: \RR \rightarrow \RR}\), to spełnia, ale nie wiem jak to udowodnić.
Ktoś może pomóc
\(\displaystyle{ f=I_{\RR}:\RR \rightarrow \RR}\),
spełnia to zadanie, gdyż dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ x,y \in \RR,}\) mamy:
\(\displaystyle{ f\left( x+y\right) = x+y= \max \left( f\left( x\right)=x, y \right) + \min\left( f(y)=y ,x\right) = \max \left(x,y\right) + \min \left( y,x\right) = x+y.}\)
Spróbuję uzasadnić, że nie ma innych takich funkcji (spróbuję zacząć):
Dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ x \in \RR}\), oraz dla tej samej liczby \(\displaystyle{ y=x}\), mamy:
\(\displaystyle{ f\left( 2x\right) = \max \left( f(x), x\right)+ \min \left( f(x), x\right) = f(x)+x;}\)
skąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= f\left( 2x\right)-x;}\)
i podejrzewam, że tylko funkcja identyczności \(\displaystyle{ I _{\RR}: \RR \rightarrow \RR}\), to spełnia, ale nie wiem jak to udowodnić.
Ktoś może pomóc
Ostatnio zmieniony 18 lis 2023, o 22:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11583
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1423
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: min max
No nie, gdyż dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ x \in \RR}\) (np. dla \(\displaystyle{ x=0}\)), oraz dla \(\displaystyle{ y=x+1}\), mamy:
\(\displaystyle{ \max\left( x+1,y\right) = \max\left( x+1, x+1\right) = x+1}\), i
\(\displaystyle{ \min\left( y+1,x\right) = \min \left( x+2, x\right)= x}\);
lecz:
\(\displaystyle{ f\left( x+y\right) = f\left( 2x+1\right) = 2x+2 \neq \left( x+1\right) +x= \max\left( x+1,y\right) + \min \left( y+1,x\right) .}\)
\(\displaystyle{ \max\left( x+1,y\right) = \max\left( x+1, x+1\right) = x+1}\), i
\(\displaystyle{ \min\left( y+1,x\right) = \min \left( x+2, x\right)= x}\);
lecz:
\(\displaystyle{ f\left( x+y\right) = f\left( 2x+1\right) = 2x+2 \neq \left( x+1\right) +x= \max\left( x+1,y\right) + \min \left( y+1,x\right) .}\)
Ostatnio zmieniony 24 lis 2023, o 17:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: min max
A jak napiszę:
\(\displaystyle{ \min\left\{ x,f(y)\right\} = \frac{x+f(y)-|x-f(y)|}{2} }\)
\(\displaystyle{ \max\left\{ y,f(x)\right\} = \frac{x+f(y)+|y-f(x)|}{2} }\)
To może to ci ułatwi zadanie...
Podstawiając i upraszczając otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ f(x)-|f(x)|=x+a-|x-a| , a=f(0)}\)
\(\displaystyle{ \min\left\{ x,f(y)\right\} = \frac{x+f(y)-|x-f(y)|}{2} }\)
\(\displaystyle{ \max\left\{ y,f(x)\right\} = \frac{x+f(y)+|y-f(x)|}{2} }\)
To może to ci ułatwi zadanie...
Podstawiając i upraszczając otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ f(x)-|f(x)|=x+a-|x-a| , a=f(0)}\)
Ostatnio zmieniony 24 lis 2023, o 18:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: min max
A nie miałeś na myśli
\(\displaystyle{ \max\left\{ y,f(x)\right\} = \frac{y+f(x)+|y-f(x)|}{2} }\) ?
JK