Matematyka.pl

Jan Kraszewski pisze: ↑17 maja 2023, o 11:55

Janusz Tracz pisze: ↑17 maja 2023, o 11:39

\(\displaystyle{ x^4 + x^2 − 6 x + 4 = (x-1)^2((x+1)^2+1)}\)

Bardzo ładne rozwiązanie, ale - ze względu na to, że rozwiązując zadanie nie wiemy, jaka jest ta najmniejsza wartość - zupełnie niematuralne.

JK

Chyba, że zauważymy, że \(\displaystyle{ x = 1}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^4 + x^2 − 6 x + 4 }\). Wiadomo, że musi być pierwiatkiem parzystokrotnym, więc robi się bardziej naturalnie i maturalnie.
Oczywiście w równości \(\displaystyle{ x^4 + x^2 − 6 x + 4 = (x-1)^2((x+1)^2+1)}\) zamiast ostatniej jedynki powinna być \(\displaystyle{ 3}\)

Tyle że o tej czwórce w wyrazie wolnym dowiaduje się dopiero po rozwiązaniu zadania.

kerajs pisze: ↑20 maja 2023, o 12:38 W zadaniu 11 napisano: dla których równanie (kwadratowe) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste .

Pierwiastki wielomianów często liczy się z krotnościami, dlatego dobrze że w treści doprecyzowano, o co chodzi.

41421356 pisze: ↑17 maja 2023, o 13:09 Ja próbowałem przećwiczyć sobie nierówności pomiędzy średnimi na tym przykładzie, ale utknąłem na tym etapie:

\(\displaystyle{ x^2+\frac{4}{x^2}\geq 4}\)
\(\displaystyle{ x^4-4x^2\geq -4}\)

Dziwnie próbujesz, bo dla \(x=1\) (które ma być optymalne) nie masz równych składników.

Dla \(x\ne 0\):
\(\displaystyle{ \frac{x^4+x^2+1+1+1+1}{6}\ge\sqrt[6]{x^4x^2}}\)

Inny sposób: Wielomian \(f(x)=x^4+x^2-6x\) ma dwa pierwiastki rzeczywiste: \(x_1=0\) oraz \(x_2\in(1,2)\). Ujemne wartości są przyjmowane tylko pomiędzy \(x_1\) a \(x_2\). Dla \(x\) z tego przedziału mamy:
\(\displaystyle{ f(x)=-\frac12(6-x-x^3)2x\ge-\left(\frac{\frac12(6-x-x^3)+2x}2\right)^2=-\frac1{16}\left(6+3x-x^3\right)^2}\)
Dla \(x\in[\sqrt3,x_2)\) jest \(6+3x-x^3\le6\) i \(f(x)\ge-\frac9{4}\), natomiast nas bardziej interesują \(x\in(x_1,\sqrt3)\) i mamy dla nich:
\(\displaystyle{ 6+3x-x^3=6+\frac12\cdot2x(3-x^2)\le6+\frac12\left(\frac{2x+3-x^2}2\right)^2}\)
Z tym ostatnim wyrażeniem już sobie dasz radę. Tak samo jak poprzednio, nie wiadomo jak na to wpaść, gdy nie zna się wcześniej wyniku. Szybciej to by poszło, gdybyśmy mieli rozkład wielomianu \(f\) na czynniki liniowe w liczbach rzeczywistych, ale na to nie ma szans.

a4karo pisze: ↑21 maja 2023, o 15:35 Ale co w treści jest błędnego?

Błędem jest pisanie ''różne'' o obiektach które są rozróżnialne.
Przykłady takich błędów stylistycznych:
Mars ma dwa różne księżyce.
Dwa różne psy biegają po trawniku.
Ocenę celującą uzyskało dwóch różnych uczniów.


Dla mnie, pisanie przez CKE (czyli tych, co określają standardy i najlepiej je znają) o ''dwóch różnych'' rozwiązaniach równania kwadratowego nie jest błędem stylistycznym, lecz błędem merytorycznym wskazującym na niewiedzę autora oraz sugerującym istnienie dwóch równych rozwiązań tego równania.

3a174ad9764fefcb pisze: ↑22 maja 2023, o 11:09

kerajs pisze: ↑20 maja 2023, o 12:38 W zadaniu 11 napisano: dla których równanie (kwadratowe) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste .

Pierwiastki wielomianów często liczy się z krotnościami, dlatego dobrze że w treści doprecyzowano, o co chodzi.

Tak by było gdyby pisano o pierwiastkach, a nie o rozwiązaniach.

No to popatrz na takie zadanie: dane są dwa trójkąty i kwadrat. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa losowo wybrane obiekty będą różne.
Odpowiedź prawidłowa to `1`, ale informacja o kształtach może sugerować, że są one istotne.
Uczniom mówi się różne rzeczy na temat interpretacji ilości pierwiastków i dlatego (moim zdaniem) dobrze, że użyto takiego doprecyzowania.

kerajs pisze: ↑26 maja 2023, o 10:15Tak by było gdyby pisano o pierwiastkach, a nie o rozwiązaniach.

Myślę, że nie dla wszystkich to rozróżnienie jest oczywiste, różne też rzeczy mogą uczniowie słyszeć w szkole (choćby dlatego, że mają lepszych bądź gorszych nauczycieli), dlatego takiej doprecyzowanie (bądź, jak ktoś woli, "nadprecyzowanie") jest z praktycznego punktu widzenia jak najbardziej na miejscu - nikt nie powinien mieć wątpliwości, że chodzi o \(\displaystyle{ \Delta>0}\).

JK

a4karo pisze: ↑26 maja 2023, o 11:24 No to popatrz na takie zadanie: dane są dwa trójkąty i kwadrat. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa losowo wybrane obiekty będą różne.
Odpowiedź prawidłowa to `1`, ale informacja o kształtach może sugerować, że są one istotne.

To nie jest prawidłowa odpowiedź, podobnie jak nie jest nią 2/3.
To zadanie nie ma poprawnej odpowiedzi gdyż jest niejednoznaczne, a wynik zależy od założenia czy trójkąty są takie same , czy nie.

Co zabawne, upieranie się przy nieidentyczności trójkątów z tego ''zadania'' będzie argumentem za błędnym użyciem słowa ''różne'' w zadaniu maturalnym.

a4karo pisze: ↑26 maja 2023, o 11:24 Uczniom mówi się różne rzeczy na temat interpretacji ilości pierwiastków i dlatego (moim zdaniem) dobrze, że użyto takiego doprecyzowania.

Jan Kraszewski pisze: ↑26 maja 2023, o 11:38 Myślę, że nie dla wszystkich to rozróżnienie jest oczywiste, różne też rzeczy mogą uczniowie słyszeć w szkole (choćby dlatego, że mają lepszych bądź gorszych nauczycieli), dlatego takiej doprecyzowanie (bądź, jak ktoś woli, "nadprecyzowanie") jest z praktycznego punktu widzenia jak najbardziej na miejscu - nikt nie powinien mieć wątpliwości, że chodzi o \(\displaystyle{ \Delta>0}\).

Jak już tak bardzo chcieli pomóc, to dlaczego tego nie zrobili w poprawny sposób?
Fakt, '' różne rozwiązania (równania kwadratowego)'' nie są takim babolem jak '' liczba różnych pierwiastków wynosi jeden'', ale to i tak błąd.

kerajs pisze: ↑27 maja 2023, o 14:29

a4karo pisze: ↑26 maja 2023, o 11:24 No to popatrz na takie zadanie: dane są dwa trójkąty i kwadrat. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa losowo wybrane obiekty będą różne.
Odpowiedź prawidłowa to `1`, ale informacja o kształtach może sugerować, że są one istotne.

To nie jest prawidłowa odpowiedź, podobnie jak nie jest nią 2/3.
To zadanie nie ma poprawnej odpowiedzi gdyż jest niejednoznaczne, a wynik zależy od założenia czy trójkąty są takie same , czy nie.

Innymi słowy dopuszczasz, że przy takim sformułowaniu dwa obiekty moja być takie same, czyli że tych obiektów jest de facto dwa. Może zatem dobrze, że na maturze podkreślono "dwa różne"?

Swoją drogą użyte przez ciebie określenie "takie same" jest mocno mylące. Nie są, jeden jest czerwony, drugi niebieski, ale w zadaniu nic na ten temat się nie mówi. W zadaniu też nie pytam o szanse wylosowania obiektów o różnym kształcie lecz o szanse wylosowania różnych obiektów. A ta wynosi jeden.
Skoro w zaciszu domowego fotela nie wychwyciłeś tej subtelności, to tym bardziej kłopot mogą mieć maturzyści w stresie. I właśnie dlatego nie widzę nic niestosownego w pisaniu o dwóch różnych pierwiastkach