Od ponad miesiąca się waham czy tu pisać, gdyż intuicja sugeruje mi błędność poniższego rozwiązania. Niestety nie wiem w którym miejscu się mylę. Może ktoś mnie oświeci.
Aby był spełniony warunek:
aneta909811 pisze: ↑12 kwie 2023, o 23:26
największy kąt powstałego trójkąta jest nie mniejszy niż
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi }\) .
to trzy wierzchołki trójkąta muszą leżeć na łuku którego kąt środkowy nie przekracza
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi }\). Wybieram dowolne miejsce na okręgu dla pierwszego wierzchołka.
Drugi wierzchołek wraz z pierwszym są końcami łuku o kącie środkowym
\(\displaystyle{ \alpha}\) z przedziału
\(\displaystyle{ (- \pi , \pi >}\) (licząc od promienia okręgu o końcu w pierwszym wierzchołku). Analogicznie trzeci wierzchołek wraz z pierwszym są końcami łuku o kącie środkowym
\(\displaystyle{ \beta}\) z przedziału
\(\displaystyle{ (- \pi , \pi >}\). Kąty te tworzą na płaszczyźnie
\(\displaystyle{ \alpha 0 \beta }\) obszar o polu
\(\displaystyle{ 4\pi ^2}\).
Rozróżniam dwa zdarzenia sprzyjające:
a) jeśli
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \frac{2}{3} \pi}\) to
\(\displaystyle{ \alpha -\frac{2}{3} \pi \le \beta \le \frac{2}{3} \pi}\)
b) jeśli
\(\displaystyle{ 0 > \alpha \le - \frac{2}{3} \pi}\) to
\(\displaystyle{ -\frac{2}{3} \pi \le \beta \le - \alpha + \frac{2}{3} \pi}\)
Suma pól tych obszarów na płaszczyźnie
\(\displaystyle{ \alpha 0 \beta }\) wynosi
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi ^2 }\) więc szukane prawdopodobieństwo będące stosunkiem pól wynosi
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{3} }\)