Matematyka.pl

Zadanie jest w temacie wartość bezwględna więc zakładam trzeba ją jakoś użyć ale zbytnio nie mam pomysłu. Prośba o pomoc w rozwiązaniu zadania

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x^{2}+ 16y^{2} =16xy}\) oraz \(\displaystyle{ x>4y>0}\), to \(\displaystyle{ \frac{x+4y}{x-4y} = \sqrt{3}}\)

Zauważ, że w świetle założeń liczba \(\displaystyle{ \frac{x+4y}{x-4y}}\) jest dodatnia (dodatni licznik i mianownik), a ponadto wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{(x+4y)^2}{(x-4y)^2}=3}\).

Wskazówka:
\(\displaystyle{ 0=2x^2-32xy+32y^2=3(x-4y)^2-(x+4y)^2}\).

Albo tak:
\(\displaystyle{ 0=x^2-16xy-16y^2=x^2-16xy+64y^2-48y^2=(x-8y)^2-48y^2=(x-8y-4\sqrt{3}y)\red{(x-8y+4\sqrt{3}y)}}\)

Pokaż, że czerwony kawałek jest dodatni. Wylicz `x`, wstaw do ułamka, usuń niewymierność.

Dla mnie czytelniejszy jest taki zapis - dopełniając do wzorów skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (x+4y)^2}\) oraz \(\displaystyle{ (x-4y)^2}\) mamy:
\(\displaystyle{ (x+4y)^2=24xy \\ (x-4y)^2=8xy}\)

Tezę łatwo dostajemy po spierwiastkowaniu tych równań, ostrożnie używając założeń zadania.