Strona 1 z 1
Nierówność trygonometryczna
: 5 mar 2023, o 14:53
autor: AZS06
\(\displaystyle{ 2\sin^2x -1 \le 0 \\
\sin x \in (\frac{-\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})}\)
Jak to dalej rozwiązać ?
\(\displaystyle{ x \in (\frac{- \pi}{4} + 2 k \pi ; \frac{\pi}{4} + 2 k \pi )}\)
Jest OK ?
Re: Nierówność trygonometryczna
: 5 mar 2023, o 15:05
autor: Jan Kraszewski
AZS06 pisze: 5 mar 2023, o 14:53
\(\displaystyle{ 2\sin^2x -1 \le 0 \\
\sin x \in (\frac{-\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})}\)
Jak to dalej rozwiązać ?
Narysować wykres sinusa?
AZS06 pisze: 5 mar 2023, o 14:53
\(\displaystyle{ x \in (\frac{- \pi}{4} + 2 k \pi ; \frac{\pi}{4} + 2 k \pi )}\)
Jest OK ?
Nie, zgubiłeś połowę rozwiązań.
Może będzie Ci łatwiej, jak zauważysz, że
\(\displaystyle{ 2\sin^2x -1=-\cos 2x}\) i rozwiążesz nierówność
\(\displaystyle{ \cos 2x\ge 0.}\)
JK
Re: Nierówność trygonometryczna
: 5 mar 2023, o 15:07
autor: Dilectus
Pamiętasz wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta?
Re: Nierówność trygonometryczna
: 5 mar 2023, o 15:37
autor: AZS06
Jan Kraszewski pisze: 5 mar 2023, o 15:05
AZS06 pisze: 5 mar 2023, o 14:53
\(\displaystyle{ 2\sin^2x -1 \le 0 \\
\sin x \in (\frac{-\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})}\)
Jak to dalej rozwiązać ?
Narysować wykres sinusa?
AZS06 pisze: 5 mar 2023, o 14:53
\(\displaystyle{ x \in (\frac{- \pi}{4} + 2 k \pi ; \frac{\pi}{4} + 2 k \pi )}\)
Jest OK ?
Nie, zgubiłeś połowę rozwiązań.
Może będzie Ci łatwiej, jak zauważysz, że
\(\displaystyle{ 2\sin^2x -1=-\cos 2x}\) i rozwiążesz nierówność
\(\displaystyle{ \cos 2x\ge 0.}\)
JK
Zgadza się:
czyli wynik to:
\(\displaystyle{ x \in (\frac{- \pi}{4} + 2 k \pi ; \frac{\pi}{4} + 2 k \pi ) \cup (\frac{3 \pi}{4} + 2 k \pi ; \frac{5\pi}{4} + 2 k \pi )}\)
Poprawnie jest to zapisane ?
Re: Nierówność trygonometryczna
: 5 mar 2023, o 15:45
autor: Jan Kraszewski
AZS06 pisze: 5 mar 2023, o 15:37czyli wynik to:
\(\displaystyle{ x \in (\frac{- \pi}{4} + 2 k \pi ; \frac{\pi}{4} + 2 k \pi ) \cup (\frac{3 \pi}{4} + 2 k \pi ; \frac{5\pi}{4} + 2 k \pi )}\)
Poprawnie jest to zapisane ?
Tak, choć należy dodać, że
\(\displaystyle{ k\in\ZZ}\) (czyli że
\(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą).
Można też zbiór rozwiązań zapisać prościej:
\(\displaystyle{ \left( \frac{- \pi}{4} + k \pi ; \frac{\pi}{4} + k \pi \right),\ k\in\ZZ. }\)
JK