Nie rozumiem dlaczego licząc pole wycinka stożka nie miałoby się uwzględniać Jakobianu. Ogólnie stożek można opisać równaniem
\(\displaystyle{ f_{ \beta }(x,y)= \frac{1}{\tg\left( \frac{ \beta }{2} \right) } \times \sqrt{x^2+y^2}, }\)
gdzie
\(\displaystyle{ \beta }\) to kąt kąta jaki powstaje z przecięcia dowolnej płaszczyzny przechodzącej przez oś stożka ze stożkiem. Mówiąc krótko rozwarcie stożka. Dla skrócenia zapisu będę (nadużywając notacji) pisać
\(\displaystyle{ f_{\varkappa}(x,y)=\varkappa \sqrt{x^2+y^2}.}\)
Jeśli interesuje nas pole powierzchni (ozn.:
\(\displaystyle{ S}\)) rozpiętej przez funkcję
\(\displaystyle{ f}\) nad obszarem
\(\displaystyle{ D \subset \RR^2}\) to dla dostatecznie regularnych funkcji mamy wzór
\(\displaystyle{ \left| S\right|= \iint_{D} \sqrt{\left( \frac{ \partial f}{ \partial x} \right)^2+\left( \frac{ \partial f}{ \partial y} \right)^2+1 } \, \dd x \dd y }\)
podstawiając
\(\displaystyle{ f_{\varkappa}(x,y)=\varkappa \sqrt{x^2+y^2}}\) dostaniemy
\begin{split}
\left| S\right|&= \iint_{D} \sqrt{1+\varkappa^2} \, \dd x \dd y\\[1ex]
&= \sqrt{1+\varkappa^2} \, \left| D\right| \\[1ex]
&= \frac{|D|}{\left| \sin\left( \beta /2\right) \right| }.
\end{split}
Więc o ile znamy miarę
\(\displaystyle{ |D|}\) nie trzeba robić zamiany zmiennych. Jednak jeśli
\(\displaystyle{ |D|}\) ładnie zapisuje się w zmiennych biegunowych to możemy całkę po
\(\displaystyle{ D}\) zamienić na całkę po innym zbierze we współrzędnych biegunowych. Przykładowo jeśli
\(\displaystyle{ D}\) to dysk jednostkowy:
\(\displaystyle{ \left| S\right| = \iint_{D} \sqrt{1+\varkappa^2} \, \dd x \dd y= \int_{0}^{2 \pi }\int_{0}^{1} \sqrt{1+\varkappa^2} \red{r} \, \dd r \dd \alpha. }\)
I jakobien
\(\displaystyle{ r}\) się tu pojawia. Jakobian ten jest inny niż przy zamianie na współrzędne sferycznej ale jest. A jeśli interesuje Cię dlaczego w ogóle pojawia się coś takiego jak jakobian przy zamianie zmiennych to intuicyjnie możesz to zrozumieć odwołując się najpierw do algebry liniowej i interpretacji wyznacznika. Wyznacznik jest
miarą deformacji przestrzeni pod działaniem przekształcenia liniowego. Przykładowo przekształcenie liniowe
\(\displaystyle{ \RR^2 \ni \begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix} \in \RR^2 }\)
deformuje (liniowo)
\(\displaystyle{ \RR^2}\) robiąc z
\(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]^2 }\):
rys.: ukradłem z Wiki.
Macierzą Jacobiego jest macierz tego przekształcenia, a jakobianem jest jej wyznacznik. Sytuacja ma się podobnie dla ogólniejszych przekształceń
\(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^m}\) niekoniecznie liniowych. Jeśli
\(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^m}\) nie jest liniowym przekształceniem to nie deformuje dziedziny
jednorodnie jak to się dzieje w przypadku liniowych odwzorowani. Możemy się jednak lokalnie przyjrzeć nieliniowemu przekształceniu i czasem okazuje się, że lokalnie to przekształcenie wygląda jak jakieś przekształcenie liniowe. Dokładnie tak jak przybliża się styczną funkcję lokalnie. Tak odwzorowanie
\(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^m}\) lokalnie można przybliżyć:
\(\displaystyle{ f(x) \approx f(0) + J(0)x,}\)
gdzie
\(\displaystyle{ J}\) jest macierzą Jacobiego. I sytuacja jest analogiczna do rozwinięcia Taylora. Tak więc
\(\displaystyle{ \left| J\right| }\) będzie lokalną miarą deformacji jakie wprowadza
\(\displaystyle{ f}\). Wycinek pola/objętości/miary zmienia się więc zgodnie z tą lokalną deformacją.
