Parametryzacja a zamiana zmiennych

[Atmos]

Dobry wieczór!
Szukam odpowiedzi na pytanie - czy różni się parametryzacja od zamiany zmiennych i czemu w drugim przypadku musimy wyrażenie pod całką domnożyć dodatkowo przez jakobian?
Z góry dziękuję za odpowiedź!

[Janusz Tracz]

Możesz podać przykłady? Co rozumiesz przez parametryzację? O jakich całkach mowa?

[Atmos]

Przykład parametryzacji:
Chcemy obliczyć pole powierzchni fragmentu stożka i podstawiamy \(\displaystyle{ x=r \cos \alpha, y = r \sin \alpha, z = r}\), dalej licząc ze wzoru z długością iloczynu wektorowego wektorów stycznych do powierzchni pod całką podwójną - nie używamy tu żadnego jakobianu, nie pojawia się dodatkowe r.
Przykład zamiany zmiennych:
Chcemy policzyć objętość kuli. Zamieniamy więc odpowiednio zmienne na sferyczne, tu pojawia nam się odpowiedni jakobian pod potrójną całką.

Dlaczego tak jest?

[a4karo]

Gdy zmienne `x,y` zamieniasz na zmienne np `a,b` to wyrażenie `dxdy` przedstawia pole prostokącika. Obraz tego prostokącika w nowych zmiennych wcale nie musi być prostokącikiem, ale jego pole jest w przybliżeniu równe nie `dadb` tylko `|J|dadb` gdzie `J` jest jakobianem

[Atmos]

Dziękuję za wyjaśnienie przypadku 2
A czemu w przypadku 1 pomimo zmiany dxdy nie pojawia się jakobian?

[a4karo]

opisz dokładniej przykład 1

[Janusz Tracz]

Nie rozumiem dlaczego licząc pole wycinka stożka nie miałoby się uwzględniać Jakobianu. Ogólnie stożek można opisać równaniem

\(\displaystyle{ f_{ \beta }(x,y)= \frac{1}{\tg\left( \frac{ \beta }{2} \right) } \times \sqrt{x^2+y^2}, }\)

gdzie \(\displaystyle{ \beta }\) to kąt kąta jaki powstaje z przecięcia dowolnej płaszczyzny przechodzącej przez oś stożka ze stożkiem. Mówiąc krótko rozwarcie stożka. Dla skrócenia zapisu będę (nadużywając notacji) pisać

\(\displaystyle{ f_{\varkappa}(x,y)=\varkappa \sqrt{x^2+y^2}.}\)

Jeśli interesuje nas pole powierzchni (ozn.: \(\displaystyle{ S}\)) rozpiętej przez funkcję \(\displaystyle{ f}\) nad obszarem \(\displaystyle{ D \subset \RR^2}\) to dla dostatecznie regularnych funkcji mamy wzór

\(\displaystyle{ \left| S\right|= \iint_{D} \sqrt{\left( \frac{ \partial f}{ \partial x} \right)^2+\left( \frac{ \partial f}{ \partial y} \right)^2+1 } \, \dd x \dd y }\)

podstawiając \(\displaystyle{ f_{\varkappa}(x,y)=\varkappa \sqrt{x^2+y^2}}\) dostaniemy
\begin{split}
\left| S\right|&= \iint_{D} \sqrt{1+\varkappa^2} \, \dd x \dd y\\[1ex]
&= \sqrt{1+\varkappa^2} \, \left| D\right| \\[1ex]
&= \frac{|D|}{\left| \sin\left( \beta /2\right) \right| }.
\end{split}
Więc o ile znamy miarę \(\displaystyle{ |D|}\) nie trzeba robić zamiany zmiennych. Jednak jeśli \(\displaystyle{ |D|}\) ładnie zapisuje się w zmiennych biegunowych to możemy całkę po \(\displaystyle{ D}\) zamienić na całkę po innym zbierze we współrzędnych biegunowych. Przykładowo jeśli \(\displaystyle{ D}\) to dysk jednostkowy:

\(\displaystyle{ \left| S\right| = \iint_{D} \sqrt{1+\varkappa^2} \, \dd x \dd y= \int_{0}^{2 \pi }\int_{0}^{1} \sqrt{1+\varkappa^2} \red{r} \, \dd r \dd \alpha. }\)

I jakobien \(\displaystyle{ r}\) się tu pojawia. Jakobian ten jest inny niż przy zamianie na współrzędne sferycznej ale jest. A jeśli interesuje Cię dlaczego w ogóle pojawia się coś takiego jak jakobian przy zamianie zmiennych to intuicyjnie możesz to zrozumieć odwołując się najpierw do algebry liniowej i interpretacji wyznacznika. Wyznacznik jest miarą deformacji przestrzeni pod działaniem przekształcenia liniowego. Przykładowo przekształcenie liniowe

\(\displaystyle{ \RR^2 \ni \begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix} \in \RR^2 }\)

deformuje (liniowo) \(\displaystyle{ \RR^2}\) robiąc z \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]^2 }\):

rys.: ukradłem z Wiki.

Macierzą Jacobiego jest macierz tego przekształcenia, a jakobianem jest jej wyznacznik. Sytuacja ma się podobnie dla ogólniejszych przekształceń \(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^m}\) niekoniecznie liniowych. Jeśli \(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^m}\) nie jest liniowym przekształceniem to nie deformuje dziedziny jednorodnie jak to się dzieje w przypadku liniowych odwzorowani. Możemy się jednak lokalnie przyjrzeć nieliniowemu przekształceniu i czasem okazuje się, że lokalnie to przekształcenie wygląda jak jakieś przekształcenie liniowe. Dokładnie tak jak przybliża się styczną funkcję lokalnie. Tak odwzorowanie \(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^m}\) lokalnie można przybliżyć:

\(\displaystyle{ f(x) \approx f(0) + J(0)x,}\)

gdzie \(\displaystyle{ J}\) jest macierzą Jacobiego. I sytuacja jest analogiczna do rozwinięcia Taylora. Tak więc \(\displaystyle{ \left| J\right| }\) będzie lokalną miarą deformacji jakie wprowadza \(\displaystyle{ f}\). Wycinek pola/objętości/miary zmienia się więc zgodnie z tą lokalną deformacją.

[Atmos]

Dziękuję za bardzo dokładne wyjaśnienie!
Jeśli chodzi o przykład ze stożkiem bez jakobianu - na zajęciach liczyliśmy to następująco:
S - powierzchnia kawałka stożka, gdzie \(\displaystyle{ S = \Phi (D), D = \{(r, \theta), 0 \le \theta \le 2 \cdot \pi, 0 \le r \le 1\} }\). Określaliśmy \(\displaystyle{ \Phi (r, \theta) = (x, y, z)}\), gdzie \(\displaystyle{ x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, z = r}\). Liczyliśmy wektory styczne \(\displaystyle{ T_r = (\cos \theta, \sin \theta, 1), T_{\theta} = (-r \sin \theta, r \cos \theta, 0)}\), a następnie liczyliśmy powierzchnię całką \(\displaystyle{ A(S) = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} ||T_r \times T_{\theta} || dr d\theta }\). Jak widać, nie pojawia się tu żaden jakobian. To mnie zastanawia...

[a4karo]

Ale tu nie zmieniasz zmiennych, tylko korzystasz ze wzoru, który wyraża coś tam przez całkę we współrzędnych biegunowych.

[Janusz Tracz]

W takim przypadku nie mówił bym o jakobianie. Tu nie ma zamiany zmiennych od początku pracujesz w układzie \(\displaystyle{ r\theta}\).

W ogólności jeśli masz powierzchnię \(\displaystyle{ \Sigma}\) daną parametrycznie

\(\displaystyle{ \Sigma: \begin{cases}x=x(u,v) &\\ y=y(u,v) \\ z=z(u,v) \end{cases} }\)

powiedzmy, że wygląda to tak:

wektor normalny do \(\displaystyle{ \Sigma}\) wyraża się poprzez iloczyn wektorowy wektora czerwonego i zielonego z rysunku. Te wektory są natomiast wektorami stycznymi do krzywych odpowiednio

\(\displaystyle{ \green{\gamma_1}: \begin{cases}x=x(u,v_0) &\\ y=y(u,v_0) \\ z=z(u,v_0) \end{cases} \qquad \& \qquad \red{\gamma_2}: \begin{cases}x=x(u_0,v) &\\ y=y(u_0,v) \\ z=z(u_0,v) \end{cases}, }\)

gdzie \(\displaystyle{ u_0,v_0}\) są ustalone. Wektory styczne można traktować jak wektory prędkości więc łatwo zapamiętać, że

\(\displaystyle{ \green{T_u}=\left[ \frac{ \partial x}{ \partial u},\frac{ \partial y}{ \partial u}, \frac{ \partial z}{ \partial u}\right] \qquad \& \qquad \red{T_v}=\left[ \frac{ \partial x}{ \partial v},\frac{ \partial y}{ \partial v}, \frac{ \partial z}{ \partial v}\right]. }\)

Więc miara \(\displaystyle{ \left| \Sigma\right| }\) wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ \left| \Sigma\right|= \int_{\Delta} \|T_u \times T_v \|\, \dd u \dd v, }\)

gdzie \(\displaystyle{ \Delta \subset \RR^2}\) jest zbiorem zmienności parametrów \(\displaystyle{ u,v}\) (na rysunku jest to niepodpisany obszar w płaszczyźnie \(\displaystyle{ uv}\)). Jak widać nie ma tu żadnej zamiany zmiennych z \(\displaystyle{ (x,y)}\) na \(\displaystyle{ (u,v)}\) itd. od razu wszystko robimy w \(\displaystyle{ (u,v)}\).

PS to co policzyłaś to pole powierzchni danej parametrycznie. Można tego nie parametryzować i powinno wyjść na to samo. Wektorami stycznymi będą \(\displaystyle{ T_x,T_y}\) będziemy w płaszczyźnie \(\displaystyle{ xy}\) i pewnie sytuacje sprawdzi się do wzoru który wcześniej naspałem.

[janusz47]

Parametryzacja krzywych i powierzchni pozwala nam ustalać ich orientację.
Na przykład jeśli przyjmiemy, że dana krzywa sparametryzowana jest parametrem \(\displaystyle{ t ,}\) czyli dane są związki \(\displaystyle{ \vec{r}(t) }\) dla \(\displaystyle{ t\in [\alpha, \beta], }\) przy czym \(\displaystyle{ \vec{r}(\alpha)}\) to współrzędne początku krzywej (punkt \(\displaystyle{ A }\)) , a \(\displaystyle{ \vec{r}(\beta) }\) końca (punkt \(\displaystyle{ B }\)), to samym ustaliliśmy orientację krzywej \(\displaystyle{ \gamma_{AB}, }\) z punktu \(\displaystyle{ A }\) do punktu \(\displaystyle{ B.}\)
Krzywą o orientacji przeciwnej jest krzywa \(\displaystyle{ \gamma_{BA}.}\)

Orientacja krzywych i powierzchni wykorzystywana jest w całkach krzywoliniowych, całkach powierzchniowych zorientowanych.

Ponadto w geometrii różniczkowej rozpatruje się parametryzacje nieunormowane i unormowane(naturalne) krzywych pozwalające opisywać ich własności w zależności od kształtu.

[a4karo]

Parametryzacja krzywych i powierzchni pozwala nam ustalać ich orientację.
Na przykład jeśli przyjmiemy, że dana krzywa sparametryzowana jest parametrem \(\displaystyle{ t ,}\) czyli dane są związki \(\displaystyle{ \vec{r}(t) }\) dla \(\displaystyle{ t\in [\alpha, \beta], }\) przy czym \(\displaystyle{ \vec{r}(\alpha)}\) to współrzędne początku krzywej (punkt \(\displaystyle{ A }\)) , a \(\displaystyle{ \vec{r}(\beta) }\) końca (punkt \(\displaystyle{ B }\)), to samym ustaliliśmy orientację krzywej \(\displaystyle{ \gamma_{AB}, }\) z punktu \(\displaystyle{ A }\) do punktu \(\displaystyle{ B.}\)
Krzywą o orientacji przeciwnej jest krzywa \(\displaystyle{ \gamma_{BA}.}\)

W szczególności wynika stąd, że jeżeli `A=B` to krzywą o orientacji przeciwnej do krzywej \(\displaystyle{ \gamma_{AA}}\) jest krzywa \(\displaystyle{ \gamma_{AA}}\), czyli ona sama.

Czy tylko mi się zdaje, że ma to mało sensu?

[janusz47]

W szczególności jeśli początek krzywej pokrywa się z jej końcem \(\displaystyle{ A = B }\) to taką krzywą nazywa się konturem lub krzywą zamkniętą.

[Dasio11]

a następnie liczyliśmy powierzchnię całką \(\displaystyle{ A(S) = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} ||T_r \times T_{\theta} || dr d\theta }\). Jak widać, nie pojawia się tu żaden jakobian. To mnie zastanawia...

Długość iloczynu wektorowego jest równa polu równoległoboku rozpiętego na tych wektorach - zatem wyrażenie \(\displaystyle{ \| T_r \times T_{\theta} \|}\) jest odpowiednikiem jakobianu.

Przy każdej parametryzacji (czy też zamianie zmiennych, która jest jej szczególnym przypadkiem) pod całką trzeba dopisać czynnik, który odpowiada za deformację objętości, tak jak opisał to Janusz Tracz. Jeśli parametryzowany kształt ma niższy wymiar niż otaczająca go przestrzeń - tak jak dwuwymiarowa powierzchnia stożka w przestrzeni trójwymiarowej - to wzór jest na ogół dość skomplikowany, bo jest nim pierwiastek z wyznacznika macierzy Grama układu wektorów stycznych. W przypadku kształtu 2D leżącego w 3D ten wzór sprowadza się właśnie do długości iloczynu wektorowego. Jeśli zaś kształt ma taki sam wymiar jak przestrzeń, w której leży - na przykład kula trójwymiarowa w przestrzeni trójwymiarowej - to wzór upraszcza się do modułu z wyznacznika jakobianu. Tak czy owak, czynnik opisujący deformację objętości jest pod całką obecny.

[Janusz Tracz]

- zatem wyrażenie \(\displaystyle{ \| T_r \times T_{\theta} \|}\) jest odpowiednikiem jakobianu.

Właśnie zastanawiałem się czy napisać coś takiego. Ale ostatecznie edytowałem swój post w ostatnim momencie i to usunąłem. Pewnie masz rację i pewnie można by nawet było znaleźć taki sposób patrzenia na te całki itp. tak, że to dosłownie byłby prawdziwy jakobian. Ponieważ się na tym nie znam to nie będę silił się na formalizacje ale wyobrażam sobie, że jakąś tam powierzchnię traktujemy jak rozmaitość (topologiczną/różniczkowalną itp.) i parametryzacja owej rozmaitości zadaje lokalnie układ współrzędnych (zgodnie z rysuneczkiem który wcześniej dodałem). Więc element pola \(\displaystyle{ \dd x \dd y}\) zamianie się na element pola \(\displaystyle{ \|T_r \times T_{\theta}\| \, \dd r \dd \theta}\) na tejże powierzchni. Wtedy \(\displaystyle{ \|T_r \times T_{\theta}\|}\) jest prawdziwym jakobianem. Choć to co tu mówię może nie mieć najmniejszego sensu bo się nie znam.

Ja jednak zdecydowałem się, że nie nazwę tego jakobianem (możne moja decyzja była niesłuszna z perspektywy tego co piszesz...) bo ten wzór na pole powierzani można traktować jak "po prostu wzór" (w sensie mamy dany wzór i z niego korzystamy). Wtedy formalnie rzecz biorąc po prostu skorzystaliśmy ze wzoru, a nie zrobiliśmy zamiany zmiennych. Zamian zmiennych zwykle kojarzy się z zapisaniem obszaru po jakim się całkuje w inny sposób tak by był ładniejszy (w sensie kółko zamieniamy na kwadrat itp.). A nie z przejściem z układem na rozmaitość. Choć moja odczucia i skojarzenia nie są żadnym wyznacznikiem obiektywnej prawdy.