Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ p, \ p \in \mathbb{R}}\), dla których równanie \(\displaystyle{ |(x-2)(x-4)|=4p-3}\) ma dwa rozwiązania dodatnie.

Wiem, że najlepiej jest to rozwiązać graficznie, ale chciałabym też algebraicznie i coś mi w tym rozwiązaniu algebraicznym nie wychodzi.
Rozbijam na dwa przypadki:
\(\displaystyle{ I. \begin{cases} x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)\\ (x-2)(x-4)=4p-3 \end{cases} \vee II.\begin{cases} x \in (2,4)\\ (x-2)(x-4)=-4p+3 \end{cases}
}\)
Założenia do przypadku I:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ x_1+x_2>0 \\ x_1x_2>0 \\ x_1, x_2 \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty) \end{cases} }\)
Ostatni warunek przekształcam do: \(\displaystyle{ \begin{cases} x_1-2+x_2-2 \le 0 \\ (x_1-2)(x_2-2) \ge 0 \end{cases} \vee \begin{cases} x_1-4+x_2-4 \ge 0 \\ (x_1-2)(x_2-2) \ge 0 \end{cases} }\).

Analogiczne założenia do przypadku II, ale z wykresu wynika, że te dwa rozwiązania dodatnie są, gdy \(\displaystyle{ x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)}\), więc drugi przypadek powinien wyjść sprzeczny. Tymczasem mnie wychodzi sprzeczność w I. Nie wiem, czy to tylko ewentualne błędy rachunkowe, czy już na wstępie jest coś nie tak... Bardzo proszę o pomoc.

inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 15:29Rozbijam na dwa przypadki:
\(\displaystyle{ I. \begin{cases} x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)\\ (x-2)(x-4)=4p-3 \end{cases} \vee II.\begin{cases} x \in (2,4)\\ (x-2)(x-4)=-4p+3 \end{cases}
}\)

A jaki miałby być związek tych przypadków z rozwiązaniem?

inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 15:29z wykresu wynika, że te dwa rozwiązania dodatnie są, gdy \(\displaystyle{ x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)}\),

To nieprawda, chyba zrobiłaś zły wykres. Poza tym pamiętaj, że w zadaniu jest pytanie o \(\displaystyle{ p}\), nie o \(\displaystyle{ x}\).

JK

Jan Kraszewski pisze: 28 sty 2023, o 16:37

inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 15:29Rozbijam na dwa przypadki:
\(\displaystyle{ I. \begin{cases} x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)\\ (x-2)(x-4)=4p-3 \end{cases} \vee II.\begin{cases} x \in (2,4)\\ (x-2)(x-4)=-4p+3 \end{cases}
}\)

A jaki miałby być związek tych przypadków z rozwiązaniem?

Chcę się najpierw pozbyć wartości bezwzględnej, a później uwzględniam, że mają być dwa rozwiązania dodatnie. Jeśli ten sposób jest zły, to bardzo proszę o wyjaśnienie dlaczego i jak to zrobić inaczej?

Jan Kraszewski pisze: 28 sty 2023, o 16:37

inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 15:29z wykresu wynika, że te dwa rozwiązania dodatnie są, gdy \(\displaystyle{ x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)}\),

To nieprawda, chyba zrobiłaś zły wykres. Poza tym pamiętaj, że w zadaniu jest pytanie o \(\displaystyle{ p}\), nie o \(\displaystyle{ x}\).

To był skrót myślowy, dwa rozwiązania dodatnie są, gdy \(\displaystyle{ x \in (0,2] \cup [4, 6)}\), czyli dla \(\displaystyle{ p \in \left\{ \frac{3}{4}\right\} \cup \left(1,2\frac{3}{4} \right)}\).

inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 15:29 Wyznacz wszystkie wartości parametru...

Liczenie delty w poszczególnych przypadkach dużo Ci nie da. Jeżeli już chcesz robić to analitycznie, to przeanalizuj zachowanie funkcji `|(x-2)(x-4)|`. Sprawdź gdzie maleje, gdzie rośnie i jakie wartości przybiera.
Wyposażona w te informacje będziesz w stanie odpowiedzieć na pytanie postawione w zadaniu.

I pamiętaj: delta nie jest lekarstwem na wszystkie bolączki świata.

a4karo pisze: 28 sty 2023, o 16:53 Liczenie delty w poszczególnych przypadkach dużo Ci nie da.

Właśnie chciałabym się dowiedzieć, dlaczego to nie działa?

inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 16:48Chcę się najpierw pozbyć wartości bezwzględnej, a później uwzględniam, że mają być dwa rozwiązania dodatnie. Jeśli ten sposób jest zły, to bardzo proszę o wyjaśnienie dlaczego i jak to zrobić inaczej?

Ale przecież dla tego samego \(\displaystyle{ p}\) możesz mieć rozwiązania w obu przypadkach. Jak chcesz upewnić się, że dla ustalonego \(\displaystyle{ p}\) będą dokładnie dwa rozwiązania dodatnie?

inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 16:48dwa rozwiązania dodatnie są, gdy \(\displaystyle{ x \in (0,2] \cup [4, 6)}\),

To stwierdzenie nie ma sensu.

inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 16:48 czyli dla \(\displaystyle{ p \in \left\{ \frac{3}{4}\right\} \cup \left(1,2\frac{3}{4} \right)}\).

A to jest prawda.

JK

Jan Kraszewski pisze: 28 sty 2023, o 17:01 Ale przecież dla tego samego \(\displaystyle{ p}\) możesz mieć rozwiązania w obu przypadkach. Jak chcesz upewnić się, że dla ustalonego \(\displaystyle{ p}\) będą dokładnie dwa rozwiązania dodatnie?

Rozwiązując warunki \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ x_1+x_2>0 \\ x_1x_2>0 \\ x_1,x_2 \in (-\infty, 2] \cup [4, +\infty) \end{cases}}\)

inusia146 pisze: 28 sty 2023, o 17:00

a4karo pisze: 28 sty 2023, o 16:53 Liczenie delty w poszczególnych przypadkach dużo Ci nie da.

Właśnie chciałabym się dowiedzieć, dlaczego to nie działa?

Bo, bardzo z grubsza mówiąc, delta służy do badania ilości rozwiązań równania kwadratowego w zbiorze liczb rzeczywistych, a wyrażenie, które badasz nie jest równaniem kwadratowym.

To wyjściowe nie, ale po pozbyciu się wartości bezwzględnej już jest, prawda? Przepraszam, ale nadal nie rozumiem...

No nie. Masz funkcję, które jest trójmianem kwadratowym, ale tylko na pewnym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych. I inną funkcję na innym podzbiorze. Każda z tych funkcji ma inną deltę i żadna z nich nie daje Ci informacji czy potencjalne pierwiastki leżą w obszarach, które Cię interesują.

To już rozumiem. Ale w takim razie dlaczego dorzucenie warunków, że pierwiastki mają być dwa z danego obszaru i oba dodatnie nadal nie daje poprawnego rozwiązania?

Rozwiązaniem wyjściowego równania będzie każde rozwiązanie pierwszego układu warunków, jak i każde rozwiązanie drugiego. Łącznie tych rozwiązań mają być dwie sztuki i mają być dodatnie. Jak chcesz to odczytać sprawdzając jedynie, kiedy te układy traktowane z osobna mają dwa dodatnie pierwiastki?

Innymi słowy: nawet jeśli wyznaczysz zbiór \(\displaystyle{ A}\) złożony z wartości \(\displaystyle{ p}\), dla których pierwszy układ ma dwa dodatnie rozwiązania, oraz analogiczny zbiór \(\displaystyle{ B}\) dla drugiego układu, to z tych zbiorów nie da się wyznaczyć zbioru takich \(\displaystyle{ p}\) dla których oba układy w sumie mają dwa dodatnie rozwiązania - a to o ten ostatni zbiór Cię pytają.

@Dasio11 bardzo dziękuję, teraz już rozumiem.