Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 90 razy
Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ p, \ p \in \mathbb{R}}\), dla których równanie \(\displaystyle{ |(x-2)(x-4)|=4p-3}\) ma dwa rozwiązania dodatnie.
Wiem, że najlepiej jest to rozwiązać graficznie, ale chciałabym też algebraicznie i coś mi w tym rozwiązaniu algebraicznym nie wychodzi.
Rozbijam na dwa przypadki:
\(\displaystyle{ I. \begin{cases} x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)\\ (x-2)(x-4)=4p-3 \end{cases} \vee II.\begin{cases} x \in (2,4)\\ (x-2)(x-4)=-4p+3 \end{cases}
}\)
Założenia do przypadku I:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ x_1+x_2>0 \\ x_1x_2>0 \\ x_1, x_2 \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty) \end{cases} }\)
Ostatni warunek przekształcam do: \(\displaystyle{ \begin{cases} x_1-2+x_2-2 \le 0 \\ (x_1-2)(x_2-2) \ge 0 \end{cases} \vee \begin{cases} x_1-4+x_2-4 \ge 0 \\ (x_1-2)(x_2-2) \ge 0 \end{cases} }\).
Analogiczne założenia do przypadku II, ale z wykresu wynika, że te dwa rozwiązania dodatnie są, gdy \(\displaystyle{ x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)}\), więc drugi przypadek powinien wyjść sprzeczny. Tymczasem mnie wychodzi sprzeczność w I. Nie wiem, czy to tylko ewentualne błędy rachunkowe, czy już na wstępie jest coś nie tak... Bardzo proszę o pomoc.
Wiem, że najlepiej jest to rozwiązać graficznie, ale chciałabym też algebraicznie i coś mi w tym rozwiązaniu algebraicznym nie wychodzi.
Rozbijam na dwa przypadki:
\(\displaystyle{ I. \begin{cases} x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)\\ (x-2)(x-4)=4p-3 \end{cases} \vee II.\begin{cases} x \in (2,4)\\ (x-2)(x-4)=-4p+3 \end{cases}
}\)
Założenia do przypadku I:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ x_1+x_2>0 \\ x_1x_2>0 \\ x_1, x_2 \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty) \end{cases} }\)
Ostatni warunek przekształcam do: \(\displaystyle{ \begin{cases} x_1-2+x_2-2 \le 0 \\ (x_1-2)(x_2-2) \ge 0 \end{cases} \vee \begin{cases} x_1-4+x_2-4 \ge 0 \\ (x_1-2)(x_2-2) \ge 0 \end{cases} }\).
Analogiczne założenia do przypadku II, ale z wykresu wynika, że te dwa rozwiązania dodatnie są, gdy \(\displaystyle{ x \in (-\infty, 2] \cup [4,+\infty)}\), więc drugi przypadek powinien wyjść sprzeczny. Tymczasem mnie wychodzi sprzeczność w I. Nie wiem, czy to tylko ewentualne błędy rachunkowe, czy już na wstępie jest coś nie tak... Bardzo proszę o pomoc.
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
A jaki miałby być związek tych przypadków z rozwiązaniem?
To nieprawda, chyba zrobiłaś zły wykres. Poza tym pamiętaj, że w zadaniu jest pytanie o \(\displaystyle{ p}\), nie o \(\displaystyle{ x}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 90 razy
Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
Chcę się najpierw pozbyć wartości bezwzględnej, a później uwzględniam, że mają być dwa rozwiązania dodatnie. Jeśli ten sposób jest zły, to bardzo proszę o wyjaśnienie dlaczego i jak to zrobić inaczej?Jan Kraszewski pisze: ↑28 sty 2023, o 16:37A jaki miałby być związek tych przypadków z rozwiązaniem?
To był skrót myślowy, dwa rozwiązania dodatnie są, gdy \(\displaystyle{ x \in (0,2] \cup [4, 6)}\), czyli dla \(\displaystyle{ p \in \left\{ \frac{3}{4}\right\} \cup \left(1,2\frac{3}{4} \right)}\).Jan Kraszewski pisze: ↑28 sty 2023, o 16:37To nieprawda, chyba zrobiłaś zły wykres. Poza tym pamiętaj, że w zadaniu jest pytanie o \(\displaystyle{ p}\), nie o \(\displaystyle{ x}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
Liczenie delty w poszczególnych przypadkach dużo Ci nie da. Jeżeli już chcesz robić to analitycznie, to przeanalizuj zachowanie funkcji `|(x-2)(x-4)|`. Sprawdź gdzie maleje, gdzie rośnie i jakie wartości przybiera.
Wyposażona w te informacje będziesz w stanie odpowiedzieć na pytanie postawione w zadaniu.
I pamiętaj: delta nie jest lekarstwem na wszystkie bolączki świata.
-
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 90 razy
Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
Właśnie chciałabym się dowiedzieć, dlaczego to nie działa?
-
- Administrator
- Posty: 34487
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
Ale przecież dla tego samego \(\displaystyle{ p}\) możesz mieć rozwiązania w obu przypadkach. Jak chcesz upewnić się, że dla ustalonego \(\displaystyle{ p}\) będą dokładnie dwa rozwiązania dodatnie?
To stwierdzenie nie ma sensu.
A to jest prawda.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 90 razy
Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
Rozwiązując warunki \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ x_1+x_2>0 \\ x_1x_2>0 \\ x_1,x_2 \in (-\infty, 2] \cup [4, +\infty) \end{cases}}\)Jan Kraszewski pisze: ↑28 sty 2023, o 17:01 Ale przecież dla tego samego \(\displaystyle{ p}\) możesz mieć rozwiązania w obu przypadkach. Jak chcesz upewnić się, że dla ustalonego \(\displaystyle{ p}\) będą dokładnie dwa rozwiązania dodatnie?
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
Bo, bardzo z grubsza mówiąc, delta służy do badania ilości rozwiązań równania kwadratowego w zbiorze liczb rzeczywistych, a wyrażenie, które badasz nie jest równaniem kwadratowym.
-
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 90 razy
Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
To wyjściowe nie, ale po pozbyciu się wartości bezwzględnej już jest, prawda? Przepraszam, ale nadal nie rozumiem...
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
No nie. Masz funkcję, które jest trójmianem kwadratowym, ale tylko na pewnym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych. I inną funkcję na innym podzbiorze. Każda z tych funkcji ma inną deltę i żadna z nich nie daje Ci informacji czy potencjalne pierwiastki leżą w obszarach, które Cię interesują.
-
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 90 razy
Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
To już rozumiem. Ale w takim razie dlaczego dorzucenie warunków, że pierwiastki mają być dwa z danego obszaru i oba dodatnie nadal nie daje poprawnego rozwiązania?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10255
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2376 razy
Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
Rozwiązaniem wyjściowego równania będzie każde rozwiązanie pierwszego układu warunków, jak i każde rozwiązanie drugiego. Łącznie tych rozwiązań mają być dwie sztuki i mają być dodatnie. Jak chcesz to odczytać sprawdzając jedynie, kiedy te układy traktowane z osobna mają dwa dodatnie pierwiastki?
Innymi słowy: nawet jeśli wyznaczysz zbiór \(\displaystyle{ A}\) złożony z wartości \(\displaystyle{ p}\), dla których pierwszy układ ma dwa dodatnie rozwiązania, oraz analogiczny zbiór \(\displaystyle{ B}\) dla drugiego układu, to z tych zbiorów nie da się wyznaczyć zbioru takich \(\displaystyle{ p}\) dla których oba układy w sumie mają dwa dodatnie rozwiązania - a to o ten ostatni zbiór Cię pytają.
Innymi słowy: nawet jeśli wyznaczysz zbiór \(\displaystyle{ A}\) złożony z wartości \(\displaystyle{ p}\), dla których pierwszy układ ma dwa dodatnie rozwiązania, oraz analogiczny zbiór \(\displaystyle{ B}\) dla drugiego układu, to z tych zbiorów nie da się wyznaczyć zbioru takich \(\displaystyle{ p}\) dla których oba układy w sumie mają dwa dodatnie rozwiązania - a to o ten ostatni zbiór Cię pytają.
-
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 90 razy
Re: Równanie kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem
@Dasio11 bardzo dziękuję, teraz już rozumiem.